Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Подставим эти выражения в систему. Получим
⎧
⎨
⎩
ke
kt
=(Aa
11
+ Ba
12
)e
kt
,
ke
kt
=(Aa
21
+ Ba
22
)e
kt
.
После преобразований получим:
A(a
11
− k)+Ba
12
=0,
Aa
21
+ B(a
22
− k)=0.
(44)
Выберем A и B такими, чтобы (43) удовлетворяли системе
(44). Если определитель системы (44) отличен от нуля, то
система (44) имеет единственное, т.е. нулевое решение A =
B =0и, следовательно, x(t)=y(t) ≡ 0. Таким образом,
ненулевое решение (43) получим только для таких значений,
когда определитель системы (44) равен нулю, т.е. когда
a
11
− ka
12
a
21
a
22
− k
=0. (45)
Уравнение (45) называется характеристическим уравнением
для системы (42). Решив его, найдем корни k
1
и k
2
.
Рассмотрим случаи.
13.3.1. Случай комплексных корней
характеристического уравнения системы
Корни характеристического уравнения действительны и
различны, т.е. k
1
,k
2
∈ R, k
1
= k
2
.
Для каждого из корней запишем систему (45) и опреде-
лим коэффициенты α
1
, β
1
и α
2
, β
2
соответственно. Получим
решение системы (42).
x
1
= A
1
e
k
1
t
,y
1
= B
1
e
k
1
t
;
x
2
= A
2
e
k
2
t
,y
2
= B
2
e
k
2
t
,
40

Страницы