Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Общее решение уравнения системы (42) имеет вид:
x = C
1
A
1
e
k
1
t
+ C
2
A
2
e
k
2
t
,
y = C
1
B
1
e
k
2
t
+ C
2
B
2
e
k
2
t
,
C
1
и C
2
– произвольные постоянные, значения которых могут
быть найдены по начальным условиям.
Пример 16
Решить систему уравнений
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
dt
=2x +2y,
dy
dt
= x +3y.
Решение
Составим характеристическое уравнение
2 − k 2
13− k
=0;
k
2
−5k +4=0; k
1
=1, k
2
=4. Решение системы ищем в виде
x
1
= A
1
e
t
,y
1
= B
1
e
t
;
x
2
= A
2
e
4t
,y
2
= B
2
e
4t
.
Для k
1
=1определим α
1
, β
1
из условия
(2 − 1)A
1
+2B
1
=0,
A
1
+(3− 1)B
1
=0.
A
1
= −2B
1
.ПоложимB
1
= −
1
2
, тогда A
1
=1. Аналогично
для k
2
=4получим A
2
= B
2
=1. Общее решение системы
имеет вид
x = C
1
e
t
+ C
2
e
4t
,
y = −
1
2
C
1
e
t
+ C
2
e
4t
.
41

Страницы