Составители:
Рубрика:
1. Понятие дифференциального
уравнения
Зависимость между величинами в анализе и приложени-
ях выражается уравнениями y = f(x) или F (x, y)=0.Ново
многих случаях для выражения зависимости требуются еще
и производные y
,...,y
(n)
.
Пример 1
Из статистических данных известно, что для рассматри-
ваемого региона число новорожденных и число умерших за
единицу времени пропорционально численности населения с
коэффициентами пропорциональности k
1
и k
2
соответствен-
но. Найти закон изменения численности населения с течени-
ем времени.
Решение
Обозначим через y = y(x) число жителей на момент вре-
мени x. Прирост населения ∆y за время (x, x +∆x) равен
приближенно
∆y ≈ k
1
y∆x − k
2
y∆x =(k
1
− k
2
)y∆x = ky∆x,
где k = k
1
− k
2
.Отсюда
∆y
∆x
≈ ky.
Если здесь перейдем к пределу (в предположении его су-
ществования) при ∆x → 0, то получим dy = kydx.
Получим зависимость между x, y и y
y = y(x)
. Зависи-
мость, включающая в себя независимую переменную x, y =
y(x) и ее производные до определенного порядка, назовем
дифференциальным уравнением. Решением дифференциаль-
ного уравнения будем называть функцию y = ϕ(x), которая
3
