Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 3 стр.

UptoLike

Рубрика: 

1. Понятие дифференциального
уравнения
Зависимость между величинами в анализе и приложени-
ях выражается уравнениями y = f(x) или F (x, y)=0ово
многих случаях для выражения зависимости требуются еще
и производные y
,...,y
(n)
.
Пример 1
Из статистических данных известно, что для рассматри-
ваемого региона число новорожденных и число умерших за
единицу времени пропорционально численности населения с
коэффициентами пропорциональности k
1
и k
2
соответствен-
но. Найти закон изменения численности населения с течени-
ем времени.
Решение
Обозначим через y = y(x) число жителей на момент вре-
мени x. Прирост населения y за время (x, x +∆x) равен
приближенно
y k
1
yx k
2
yx =(k
1
k
2
)yx = kyx,
где k = k
1
k
2
тсюда
y
x
ky.
Если здесь перейдем к пределу предположении его су-
ществования) при x 0, то получим dy = kydx.
Получим зависимость между x, y и y
y = y(x)
. Зависи-
мость, включающая в себя независимую переменную x, y =
y(x) и ее производные до определенного порядка, назовем
дифференциальным уравнением. Решением дифференциаль-
ного уравнения будем называть функцию y = ϕ(x), которая
3