Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 50 стр.

                            S = { x = Dv : v ∈ R n } .
     Следовательно, задача (8) сводится к проблеме безусловной
минимизации выпуклой дифференцируемой функции
                            ~
                            f (v) = f ( Dv)
от вектора v ∈ R .
                k


     Задание 3. Доказать, что если f ( x) – выпуклая дифференцируемая
                                         ~
функция от вектора x ∈ R n , то f (v) = f ( Dv) является выпуклой
дифференцируемой функцией от вектора v ∈ R k , где D – заданная
матрица размерности n × k .
     Для любого вектора из S множество допустимых по условиям задачи
(8) направлений (то есть не выводящих из S) совпадает с
подпространством S. Условие оптимальности (6) применительно к задаче
(8) преобразуется в следующее утверждение.
     Теорема 1 (условие оптимальности в терминах возможных
направлений). Для того чтобы вектор x ∈ S был оптимальным решением
задачи (8), необходимо и достаточно равенства нулю производных
функции f в точке x по любому направлению из S, т. е. для всех s ∈ S
должно выполняться равенство
                           ∇f ( x ), s = 0 .
    Это означает, что проекция градиента ∇f ( x ) на подпространство S
должна быть нулевым вектором, т.е. градиент в точке оптимума должен
находиться   в    S⊥.     Получаем    утверждение,     которое   можно
интерпретировать как обобщение критерия (7).
    Теорема 2 (условие оптимальности Лагранжа в геометрическом
представлении). Для того чтобы вектор x ∈ S был оптимальным
решением задачи (8), необходимо и достаточно выполнения соотношения
                          ∇f ( x ) ∈ S ⊥ .                       (9)
    Для случая, когда линейное подпространство S определяется как
множество решений системы однородных уравнений, теорему 2 можно
перефразировать в более привычный вид теоремы Лагранжа. Итак,
рассматривается задача
                           f ( x) → min, Ax = 0 .                (10)
    В этом случае
                                {
                          S ⊥ = y = AT u : u ∈ R m . }
Теорема 2 переходит в следующее утверждение.
    Теорема 3 (условие оптимальности Лагранжа). Для того чтобы
вектор x , удовлетворяющий ограничениям задачи (10), был оптимальным


                                     50