Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

48
обзора свойств оптимальных решений указанной классической задачи
начнем наше изложение.
3.1 Теорема Лагранжа для задачи оптимизации дифференцируемой
выпуклой функции при линейных ограничениях
Исходным пунктом в наших рассуждениях будет служить задача
безусловной минимизации дифференцируемой выпуклой функции от
вектора n -мерного пространства:
() min,
n
f
xxR→∈. (1)
Напомним, что функция
f
от векторов
n
R
называется выпуклой, если для
любого ,
nn
x
RyR∈∈ при любом вещественном
[
]
0,1
λ
∈
( (1)) ()(1)()
f
xyfx fy
λ
λλ λ
+− ≤ +− . (2)
Для дифференцируемой выпуклой функции при любых
,
nn
RsR∈∈
()()((),)
f
xs fx fxs
+
≥+∇ , (3)
где
)(xf∇ – градиент функции f в точке
x
.
Задание 1. Доказать, что для дифференцируемой функции
f
от
векторов
n
R
свойства (2) и (3) равносильные – выполнение одного из них
влечет выполнение второго.
Вектор
n
x
R∈ является решением задачи (1) в том и только том
случае, если при любом
n
s
R∈
()()
f
xs fx
+
≥ . (4)
Это определение точки минимума любой функции
f
, не обязательно
выпуклой и дифференцируемой.
Для выпуклой дифференцируемой функции из (3), (4) получаем
следующее утверждение. Для того чтобы вектор
x
доставлял минимум
для функции
f
, необходимо и достаточно, чтобы функция
f
в точке
x
не
убывала по любому направлению, т.е. для любого
n
R
s
∈ должно
выполняться неравенство
0),( ≥∇ sxf . (5)
Задание 2. Доказать, что условие (5) является необходимым и
достаточным для того, чтобы вектор
n
x
R
∈
был решением задачи (1).
Поскольку
(), (),
f
xs fxs∇−=−∇ ,
то условие (5) означает равенство нулю производной в данной точке
x
функции
f
по всем направлениям: для любого
n
R
s
∈
должно выполняться
равенство 
обзора свойств оптимальных решений указанной классической задачи
начнем наше изложение.
  3.1 Теорема Лагранжа для задачи оптимизации дифференцируемой
           выпуклой функции при линейных ограничениях
    Исходным пунктом в наших рассуждениях будет служить задача
безусловной минимизации дифференцируемой выпуклой функции от
вектора n -мерного пространства:
                            f ( x) → min, x ∈ R n .         (1)
Напомним, что функция f от векторов R n называется выпуклой, если для
любого x ∈ R n , y ∈ R n при любом вещественном λ ∈ [ 0,1]
                   f (λ x + (1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ) .   (2)
Для дифференцируемой выпуклой функции при любых x ∈ R n , s ∈ R n
                             f ( x + s ) ≥ f ( x) + (∇f ( x), s ) , (3)
где ∇f (x) – градиент функции f в точке x .
     Задание 1. Доказать, что для дифференцируемой функции f от
векторов R n свойства (2) и (3) равносильные – выполнение одного из них
влечет выполнение второго.
     Вектор x ∈ R n является решением задачи (1) в том и только том
случае, если при любом s ∈ R n
                              f ( x + s) ≥ f ( x ) .                 (4)
Это определение точки минимума любой функции f , не обязательно
выпуклой и дифференцируемой.
     Для выпуклой дифференцируемой функции из (3), (4) получаем
следующее утверждение. Для того чтобы вектор x доставлял минимум
для функции f , необходимо и достаточно, чтобы функция f в точке x не
убывала по любому направлению, т.е. для любого s ∈ R n должно
выполняться неравенство
                                     ∇f ( x), s ≥ 0 .                      (5)
    Задание 2. Доказать, что условие (5) является необходимым и
достаточным для того, чтобы вектор x ∈ R n был решением задачи (1).
    Поскольку
                                     ∇f ( x), − s = − ∇f ( x), s ,

то условие (5) означает равенство нулю производной в данной точке x
функции f по всем направлениям: для любого s ∈ R n должно выполняться
равенство


                                              48

Страницы