Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 47 стр.

Глава 3. Теоремы об альтернативных системах линейных
неравенств

     Одним из фундаментальных фактов для теории математического
моделирования и оптимизации являются теоремы об альтернативных
системах линейных неравенств. Существуют разные варианты
формулировок этих теорем. Многие из них имеют такой вид: каждой
системе линейных неравенств можно поставить в соответствие (по
некоторым обсуждаемым далее правилам) альтернативную систему
линейных неравенств. Альтернативность состоит в том, что одна и только
одна из этих двух систем будет иметь решение, а вторая обязательно будет
иметь противоречивые условия. При этом имеет место симметрия систем:
альтернативная к альтернативной совпадает с исходной.
     Поскольку указанная конструкция может применяться к разным
типам систем линейных неравенств, то существует много внешне сильно
различающихся математических формулировок теорем, ряд которых будет
приведен в данной главе. Иногда все эти теоремы обобщенно называют
теоремой или леммой Фаркаша, по фамилии венгерского математика,
опубликовавшего в 1902 г. работу по альтернативным сиcтемам линейных
неравенств. Иногда теоремой Фаркаша называют только одну из
формулировок утверждений об альтернативных системах линейных
неравенств, непосредственно рассматривавшуюся им. Ниже приводится
эта формулировка. Остальные варианты теорем об альтернативных
системах линейных неравенств связывают с именами других математиков.
Ниже будут приведены формулировки с указанием авторов, опираясь на
фундаментальную монографию по линейным неравенствам Черникова [15]
и обзорные работы по теоремам об альтернативных системах линейных
неравенств Бройдена [16, 17].
     В связи с большим количеством формулировок теорем об
альтернативных системах линейных неравенств возникает проблема
выбора наиболее наглядной, хорошо запоминающейся формулировки, на
основе которой можно было бы легко получать другие. Ниже, в качестве
отправного пункта для вывода других вариантов теоремы об
альтернативных      системах    линейных     неравенств     используется
геометрическая форма теоремы, предложенная в этих целях в [9].
     Другой педагогической проблемой является выбор эффективного
(краткого, наглядного) метода доказательства. Обычно теорему об
альтернативных системах линейных неравенств доказывают через
математическую индукцию, что, как отмечал еще Гейл, громоздко и
ненаглядно. Ниже приводится компактное доказательство, введенное в [9],
непосредственно вытекающее из теоремы Лагранжа для задачи
минимизации выпуклой функции при линейных ограничениях. С краткого


                                   47