Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

45
Система линейных уравнений с неотрицательными
переменными
. Рассмотрим систему линейных уравнений и неравенств
относительно вектора переменных
x
X
∈
,0.
A
xb x
=
≥
Для данной системы линейное подпространство S
⊥
состоит из одного
нулевого вектора, поэтому это система максимального ранга. Согласно
теореме 2 множество ее решений будет являться суммой двух множеств:
1)
выпуклой оболочки решений данной системы с максимальными
наборами нулевых компонент;
2)
конусной оболочки решений следующей системы линейных
неравенств с максимальными наборами нулевых компонент:
1
,0, 1.
n
j
j
Ax b x x
=
=
≥− ≥−
∑
Система двусторонних линейных неравенств. Рассмотрим систему
уравнений и неравенств относительно вектора переменных
n
x
R∈
,
A
xb
(47)
.
x
xx≥≥ (48)
Заданными являются матрица
A
размерности mn× , векторы
,,.
nnn
bR xR xR∈∈∈ Причем
.
x
x≥
Ограничения (48) иногда жаргонно называют «параллелепипедными».
Система (47), (48) заведомо имеет ограниченное множество решений,
поскольку таковым является множество векторов, удовлетворяющих
условию (48). По теореме 1 множество решений данной системы является
политопом, состоящим из выпуклых комбинаций решений системы с
максимальным набором активных ограничений.
Вопросы и задачи к главе 2
1. Подпространство задано как множество решений однородной
системы линейных неравенств, т.е.
{
}
:0
n
SxRAx
=
∈≤
, где
123
456
789
A
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Определить
dim и dimSS
⊥
.
2. Определить ранг приведенной ниже системы линейных неравенств.
Является ли она системой максимального ранга? 
    Система      линейных       уравнений с  неотрицательными
переменными. Рассмотрим систему линейных уравнений и неравенств
относительно вектора переменных x ∈ X
                         Ax = b, x ≥ 0.
    Для данной системы линейное подпространство S ⊥ состоит из одного
нулевого вектора, поэтому это система максимального ранга. Согласно
теореме 2 множество ее решений будет являться суммой двух множеств:
    1) выпуклой оболочки решений данной системы с максимальными
       наборами нулевых компонент;
    2) конусной оболочки решений следующей системы линейных
       неравенств с максимальными наборами нулевых компонент:
                                           n
                        Ax = b,   x ≥ 0, − ∑ x j ≥ −1.
                                           j =1
     Система двусторонних линейных неравенств. Рассмотрим систему
уравнений и неравенств относительно вектора переменных x ∈ R n
                                Ax = b,                           (47)
                                x ≥ x ≥ x.                        (48)
Заданными являются матрица A размерности m × n , векторы
b ∈ R n , x ∈ R n , x ∈ R n . Причем
                                x ≥ x.
Ограничения (48) иногда жаргонно называют «параллелепипедными».
     Система (47), (48) заведомо имеет ограниченное множество решений,
поскольку таковым является множество векторов, удовлетворяющих
условию (48). По теореме 1 множество решений данной системы является
политопом, состоящим из выпуклых комбинаций решений системы с
максимальным набором активных ограничений.

    Вопросы и задачи к главе 2

   1. Подпространство задано как множество решений однородной
     системы   линейных    неравенств,     т.е.      {               }
                                                  S = x ∈ R n : Ax ≤ 0 ,   где
           ⎛ 1 2 3⎞
      A = ⎜⎜ 4 5 6 ⎟⎟ .
           ⎜7 8 9⎟
           ⎝        ⎠
   Определить dim S и dim S ⊥ .
   2. Определить ранг приведенной ниже системы линейных неравенств.
      Является ли она системой максимального ранга?




                                   45

Страницы