Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 44 стр.

       2.6 Некоторые особые виды систем линейных неравенств
     В отдельных случаях некоторые из указанных в теореме трех
составляющих могут иметь единственный вектор.
     Система линейных уравнений.           Частным случаем системы
линейных неравенств является система линейных равенств. Рассмотрим
систему линейных уравнений относительно вектора переменных x ∈ R n
                            Ax = b.                               (46)
                                      m
Здесь A – матрица m × n , b – вектор R . Эту систему можно представить
в таком виде
                          Ax ≥ b,
                         a m +1, x ≥ b m +1,
где
                                   m                  m
                        a m +1 = −∑ a% i , b m +1 = − ∑ bi ,
                                  i =1               i =1
 i
a% – вектор, составленный из коэффициентов i − ой строки матрицы A.
      У системы (46) имеется единственное решение из подпространства S
с максимальным набором активных ограничений. Это будет решение
системы с наименьшей евклидовой нормой
                          p = arg min{ x : Ax = b}.
      У данной системы нет рецессивных направлений в подпространстве
S . Поэтому множество ее решений представляется в таком виде
                          X = p + S⊥,
  где
                           S ⊥ = {s ∈ R n : As = 0} .
      Так, например, множество решений системы, состоящей из одного
равенства
                              x1 + x2 = 1.
представляется в виде суммы X = p + S ⊥ , где p – решение системы с
наименьшей евклидовой нормой
                               ⎡0.5⎤
                           p = ⎢ ⎥,
                               ⎣0.5⎦
а вектор s – из линейного подпространства S решений уравнения
s1 + s2 = 0.
      Итак,
                               ⎡0.5⎤  ⎡1⎤
                           x = ⎢ ⎥ +α ⎢ ⎥
                               ⎣0.5⎦  ⎣ −1⎦
при любом вещественном α .



                                         44