Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 42 стр.

                                     r
                           p = ∑ β sτ y s , τ = 1,K, t
                            τ
                                  s =1
                                  r
                          vl = ∑ β sl y s ,    l = 1,K, k .
                                 s =1
     Задание 11. Доказать, что векторы pτ , t = 1,K, t составляют
множество решений системы (1) из подпространства S с
максимальными наборами активных ограничений по сравнению с другими
решениями этой системы из подпространства S .
     Задание 12. Доказать, что векторы vl , l = 1, K, k составляют
множество решений системы (35), (36) из подпространства S с
максимальными наборами активных ограничений по сравнению с другими
решениями этой системы из подпространства S .
     На основе (42) имеем следующее описание любого решения системы
(1) из линейного многообразия S
                                 t             k
                                         τ
                           y = ∑ λτ p + ∑ α l vl ,                      (45)
                                τ =1          l =1
где веса λt , α l удовлетворяют условиям (43), (44).
     Учитывая (39) получаем следующее утверждение
     Теорема 3. Множество решений системы линейных неравенств (1)
является суммой трех множеств
                    X = Co{ pτ , τ = 1, K, t} + Cone{vl , l = 1,K, k} + S ⊥ ,
где pτ , τ = 1, K, t – решение системы (1) из подпространства S с
максимальным набором активных ограничений, vl , l = 1, K,k – образующие
конечного многогранного конуса решений однородной системы линейных
уравнений, порождаемой системой (1) из линейного подпространства S .
     Отметим, что выражение (45) при условиях (43), (44) дает множество
векторов y , составляющих проекцию множества решений X системы (1)
на линейное подпространство S .
     В случае r < n утверждение леммы 1 не верно – существует
бесконечно много различающихся решений системы (1) с одним и тем же
максимальным набором активных ограничений. Действительно, для
любого вектора x ∈ X добавление к нему любого вектора z ∈ S ⊥ будет
давать решение x + z ∈ X . При этом
                           I 0 ( x) = I 0 ( x + z ).
Пример 5. На рис. 5 представлено множество решений системы,
состоящей из одного неравенства
                                  x1 + x2 ≥ 1.




                                         42