Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 40 стр.

Вектор x s будет выпуклой комбинацией векторов pτ и
                            y% = x s + λ ( x s , z ) z .
Причем
                       I 0 ( x s ) ⊂ I 0 ( pτ ), I 0 ( x s ) ⊂ I 0 ( y% ).
Исключим из набора вектор x s и включим в набор векторы pτ и y.
Полученный набор векторов вместе с вектором z дадут представление
(38).
      После конечного числа таких замен в любом из двух вариантов
получим множество векторов x s , у которых максимальные наборы
активных ограничений, т.е. получим требуемое представление (37).
      Теорема 2 доказана.
      Пример 4. Рассмотренная выше система линейных неравенств (16)
имеет максимальный ранг и неограниченное множество решений.
Множество решений системы (16) представлено на рис.1. В данном случае
имеется два решения с максимальными наборами активных ограничений:
орты e1 и e2 . По теореме 2 любое решение системы (16) есть сумма двух
векторов:
      1) выпуклой оболочки орт e1 и e2 , что составляет отрезок между
этими векторами.
      2) конечного конуса рецессивных направлений, состоящего в данном
случае их векторов R+2 .
        2. 5 Структура множества решений системы линейных
                      неравенств в общем случае
    Рассмотрим теперь общий случай, когда ранг системы (1) может
иметь любое значение, как равное, так и меньшее n .
    Любой вектор x ∈ R n однозначно представляется в виде векторов
y∈S⊥ и f ∈S
                         x= y+ f.                             (39)
По определению S
                         Af = 0.
Поэтому, чтобы вектор x был решением системы (1), необходимо и
достаточно, чтобы вектор y был решением этой системы
                         Ay ≥ b.                              (40)
      Пусть y s , s = 1,K, r – базис пространства S ⊥ . В частности, это может
быть максимальный набор линейно независимых векторов a% i ,
составленный из строк матрицы A. Рассматриваемый вектор y можно
представить в виде линейной комбинации векторов y s



                                                 40