Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 43 стр.

                                             s
                                   v
                                                 x


                       S⊥     p



                       S
Рис.5. Любое решение x линейного неравенства         x1 + x2 ≥ 1 можно
представить в виде суммы вектора p , направления v из S+⊥ и направления
s из S .

Эта система не максимального ранга. Ее ранг равен 1, что меньше числа
переменных. Согласно теореме 3, любое решение данной системы можно
представить в виде суммы трех векторов
                            x = p + v + s.
Здесь.
   1. Вектор s – из линейного подпространства S решений уравнения
       s1 + s2 = 0.
   2. Вектор v принадлежит конусу рецессивных направлений в
      ортогональном линейном подпространстве S ⊥ . В данном случае
      конус является лучом
                            S+⊥ = {λ z : λ ≥ 0} ,
   где
                                ⎡1⎤
                            z = ⎢ ⎥.
                                ⎣1⎦
   3. Вектор p принадлежит выпуклой оболочке решений системы в
     ортогональном линейном подпространстве S ⊥ с максимальными
     наборами активных ограничений. В данном примере имеется только
     одно такое решение
                                ⎡1⎤
                            p = ⎢ ⎥.
                                ⎣1⎦
    Итак, в данном примере любое решение можно представить в виде
                               ⎡1⎤     ⎡1⎤    ⎡1⎤
                           x = ⎢ ⎥ + λ ⎢ ⎥ +α ⎢ ⎥
                               ⎣1⎦     ⎣1⎦    ⎣ −1⎦
при некотором λ ≥ 0 и любом вещественном α .


                                  43