Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 70 стр.

относительно внутренних точек области Q и обозначается riQ . Итак,
                        riQ = {q ∈ Q :∃ ε > 0 Y I Rε (q ) ⊆ Q} ,
где
                                Y = Aff (Q).
Понятие относительной внутренности выпуклого множества и
представленное здесь для него обозначение было введено Рокафелларом
[14].
      Согласно приведенному определению, если и только если
                            int Q ≠ 0,
                                     /
то
                             ri Q = int Q.
      Если множество Q содержит несколько векторов, то кроме векторов
из riQ , оно может (но не обязательно) содержать другие векторы,
являющиеся граничными для Q относительно минимального линейного
многообразия, содержащего Q .
      Задание 2. Исходя из приведенного выше определения ri Q , доказать,
что когда Q = 0/ и когда Q состоит из одного вектора, множество riQ
совпадает с исходным множеством Q .
      Соотношение Q = riQ может выполняться и в других случаях. Для
полиэдра, т.е. множества решений системы линейных неравенств, такое
равенство возможно лишь в указанных двух вырожденных случаях. Если
полиэдр X не пуст и состоит не из одного вектора, то
                             ri X ⊂ X .
      Лемма 1. Множество решений системы линейных неравенств с
минимальным набором активных ограничений совпадает с относительной
внутренностью множества решений этой системы.
      Задание 3. Доказать лемму 1.
    Решения с минимальным набором активных ограничений
представляют интерес во многих аспектах. В частности, большую
практическую пользу можно извлечь из того, что с помощью таких
решений выявляется набор ограничений, активных при всех решениях
данной системы. Множество таких ограничений выше обозначено M . В
частности, это может быть использовано для сокращения размерности
(числа переменных и числа ограничений) рассматриваемой системы: если
ограничение входит в M , то, независимо, имеет ли оно априори вид
условия равенства или неравенства, для всех решений системы оно будет
выполняться только в виде равенства. Следовательно, можно одну из
переменных по этому условию выразить в виде линейной функции от
остальных переменных, входящих в данное условие. Подставив это
выражение в остальные ограничения из M и N , мы исключим из


                                   70