Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 87 стр.

оптимальные      значений    переменных,     составляющих       решение
альтернативной системы линейных неравенств с минимальной нормой.
Получаемое решение альтернативной системы означает, что исходная
система несовместна.
    Во-вторых, можно решать задачу минимизации суммы квадратов
невязок альтернативной системы. Если оптимальное значение такой задачи
достигается при нулевых невязках, то исходная система не имеет решения.
Если оптимальное решение достигается при ненулевых невязках, то
альтернативная система не имеет решения. Тогда из множителей Лагранжа
рассматриваемой задачи может быть получено решение исходной системы
линейных неравенств. Причем это будет решение исходной системы с
минимальной нормой.
    Рассматриваемый вариант может быть представлен в виде некоторой
двойственной задачи, состоящей в минимизации сепарабельной
квадратичной выпуклой функции при однородных линейных
ограничениях. Решением этой задачи в случае совместности исходной
системы линейных неравенств будет решение исходной системы с
минимальной нормой.
    Сначала рассмотрим особенности этих двух подходов (в двух
вариантах) для наиболее простого случая – для поиска решения или
идентификации несовместности систем линейных уравнений.

    6.1 Задачи минимизации суммы квадратов невязок исходной и
             альтернативной систем линейных уравнений

     Рассматривается   проблема         поиска   решения   x ∈ Rn   системы
линейных уравнений
                            Ax = b ,                                   (1)
где заданными являются A – матрица размерности m × n , b – вектор R m ,
b ≠ 0.
       По теореме 3.14 (Фредгольма), альтернативной (1) будет следующая
система линейных уравнений относительно вектора переменных u ∈ R m :
                            AΤu = 0 ,                                  (2)
                           b Τu = 1 .                                  (3)
Минимизация сумм квадратов невязок исходной системы. Рассмотрим
задачу безусловной оптимизации
                                             2
                            f ( x) = Ax − b → min, x ∈ R n .           (4)
Данная задача всегда имеет решение (может быть, неединственное).


                                       87