Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

89
задачи всегда единственное). Вектор
x
будет состоять из множителей
Лагранжа ограничений (12).
Итак, рассматриваемая здесь проблема (4) была представлена в трех
взаимосвязанных формах: в виде двух задач оптимизации (7), (8) и (11),
(12), которые можем назвать взаимно двойственными, и в виде системы
уравнений (9), (10), выражающей условие оптимальности этих двух задач.
Далее еще не раз будут рассматриваться такого типа три взаимосвязанные
постановки в
виде двух взаимно двойственных задач оптимизации и в виде
систем уравнений и неравенств.
Заметим, что по теореме 3а для вектора
u должно выполняться
равенство
∑
=
Τ
2
i
uub .
Если система (1) совместна, то
0
=
u и приведенное равенство выполняется
как тривиальное. Если система (1) несовместна, то
0
≠
u , вектор
u
u
u
i
∑
=
2
1
~
будет решением альтернативной системы (2), (3). Причем это будет
решение с минимальной евклидовой нормой, т.е. вектор u
~
будет решением
задачи
∑
→ min
2
i
u
при условиях (2), (3).
Минимизация сумм квадратов невязок альтернативной
системы
. Применим изложенное выше к альтернативной системе (2), (3).
Пусть вектор u
~
является решением задачи безусловной оптимизации
2
2
() ( 1) min,
m
uAu bu uR
ϕ
ΤΤ
=+−→∈. (13)
Из условия оптимальности
0)
~
(
=
ϕ
∇
u
следует, что задача (13) сводится к решению системы линейных уравнений
с симметричной неотрицательно определенной матрицей
bubbAA =+
Τ
Τ
)( . (14)
Если m значительно меньше n , то такой путь вычислений может быть
предпочтительнее рассмотренного ранее, базирующегося на решении
системы (6). 
задачи всегда единственное). Вектор x будет состоять из множителей
Лагранжа ограничений (12).
      Итак, рассматриваемая здесь проблема (4) была представлена в трех
взаимосвязанных формах: в виде двух задач оптимизации (7), (8) и (11),
(12), которые можем назвать взаимно двойственными, и в виде системы
уравнений (9), (10), выражающей условие оптимальности этих двух задач.
Далее еще не раз будут рассматриваться такого типа три взаимосвязанные
постановки в виде двух взаимно двойственных задач оптимизации и в виде
систем уравнений и неравенств.
      Заметим, что по теореме 3а для вектора u должно выполняться
равенство

                            bΤ u = ∑ u i .
                                             2


Если система (1) совместна, то u = 0 и приведенное равенство выполняется
как тривиальное. Если система (1) несовместна, то u ≠ 0 , вектор
                                    1
                            u~ =        2
                                             u
                                   ∑ ui
будет решением альтернативной системы (2), (3). Причем это будет
решение с минимальной евклидовой нормой, т.е. вектор u~ будет решением
задачи

                            ∑ ui2 → min
при условиях (2), (3).

     Минимизация сумм квадратов невязок альтернативной
системы. Применим изложенное выше к альтернативной системе (2), (3).
Пусть вектор u~ является решением задачи безусловной оптимизации
                                                 2
                            ϕ (u ) = AΤu + (bΤu − 1)2 → min, u ∈ R m .   (13)
    Из условия оптимальности
                            ∇ϕ(u~ ) = 0
следует, что задача (13) сводится к решению системы линейных уравнений
с симметричной неотрицательно определенной матрицей
                            ( AAΤ + bbΤ )u = b .                         (14)
Если m значительно меньше n , то такой путь вычислений может быть
предпочтительнее рассмотренного ранее, базирующегося на решении
системы (6).



                                        89

Страницы