Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

92
min)(
2
1
1
2
→
∑
=
+
m
i
j
y . (27)
Оптимальное решение данной задачи составляют векторы
x
и
xAby −= .
Обозначим
u вектор множителей Лагранжа ограничений (26).
По теореме 3а главы 3, векторы
x
, y , u являются решением
системы уравнений
by
Ax
=
+
,
0
=
Τ
u
A
,
+
=
yu .
К этой же системе сводятся, по теореме 4 главы 5, необходимые и
достаточные условия следующей задачи оптимизации:
0,0 ≥=
Τ
uuA , (28)
min
2
1
2
→−
∑
Τ
ubu
i
. (29)
Вектор
u является решением данной задачи. Вектор
x
состоит из
множителей Лагранжа ограничений-равенств. Из теоремы 5.4 также
следует, что
∑
Τ
= ubu
i
2
.
Если
0≠u , то вектор
u
u
u
i
∑
=
2
1
~
будет решением альтернативной системы (24). Причем это будет решение
с минимальной евклидовой нормой, т.е. решение задачи
min
2
→
∑
i
u
при условиях (24).
Отметим, что если бы решалась только задача оптимизации (28), (29)
без определения множителей Лагранжа ее ограничений, то по
полученному решению
u можно было бы только судить, имеет или нет
решение исходная система. Если
0
=
u , то система (23) имеет решение.
Если
0≠u , то система (23) не имеет решения. Аналогичную ситуацию мы
имели для систем линейных уравнений. 
                             1 m
                               ∑
                             2 i =1
                                    ( y j ) 2+ → min .            (27)

Оптимальное решение данной задачи составляют векторы x и
                             y = b − Ax .
Обозначим u вектор множителей Лагранжа ограничений (26).
     По теореме 3а главы 3, векторы x , y , u являются решением
системы уравнений
                             Ax + y = b ,
                             AΤu = 0 ,
                             u = y+ .
К этой же системе сводятся, по теореме 4 главы 5, необходимые и
достаточные условия следующей задачи оптимизации:
                             AΤ u = 0, u ≥ 0 ,                    (28)
                             1
                             2
                               ∑ u i2 − b Τ u → min .             (29)

Вектор u является решением данной задачи. Вектор x состоит из
множителей Лагранжа ограничений-равенств. Из теоремы 5.4 также
следует, что

                             ∑u
                                    2
                                    i   = bΤ u .

    Если u ≠ 0 , то вектор
                                        1
                             u~ =             u
                                    ∑
                                          2
                                         ui
будет решением альтернативной системы (24). Причем это будет решение
с минимальной евклидовой нормой, т.е. решение задачи

                             ∑ ui2 → min
при условиях (24).
     Отметим, что если бы решалась только задача оптимизации (28), (29)
без определения множителей Лагранжа ее ограничений, то по
полученному решению u можно было бы только судить, имеет или нет
решение исходная система. Если u = 0 , то система (23) имеет решение.
Если u ≠ 0 , то система (23) не имеет решения. Аналогичную ситуацию мы
имели для систем линейных уравнений.


                                         92

Страницы