Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

94
Если же альтернативная система несовместна, 0
~
≠
y , то по условию
(37)
0
~
1 >>
δ
и вектор
yx
~
1
δ
−
=
будет решением исходной системы (23). Причем, когда это следует из
задачи (35), (36) вектор
x
~
будет решением системы (23) с минимальной
евклидовой нормой, т.е. он будет решением задачи
∑
→ min
2
j
x , b
Ax
≥ .
Изложенный здесь подход к поиску решения систем линейных
неравенств с наименьшей нормой на основы минимизации суммы
квадратов невязок двойственной системы активно развивается в работах
Голикова и Евтушенко [3-5].
6.3 Решение систем нелинейных неравенств методом
линеаризации
Обсуждавшаяся в предыдущем параграфе задача минимизации сумм
квадратов невязок альтернативной системы линейных неравенств может
использоваться в качестве составной части алгоритмов решения систем
нелинейных неравенств.
Системы нелинейных неравенств. Рассмотрим задачу нахождения
вектора
n
x
R∈ , удовлетворяющего условию
() 0.gx
(38)
Здесь ()gx – вектор-функция с компонентами (), 1, , .
i
gxi m
=
K Причем
функции
i
g
непрерывно дифференцируемые, т.е. при любом
n
x
R∈
для
любого 1, ,in=
K существует вектор частных производных ()
n
i
gx R∇∈, все
компоненты которого являются непрерывными функциями от
x
.
Обозначим h функцию от вектора
n
x
R
∈
, равную сумме квадратов
невязок системы (38)
2
1
() ( ()).
m
i
i
hx g x
+
=
=
∑
Отметим, что проблему поиска решения системы (38) можно представить в
виде задачи безусловной оптимизации
() min, .
n
hx x R→∈ (39)
Система (38) имеет решение в том и только том случае, если задача (39)
имеет оптимальное решение со значением целевой функции, равным нулю.
Такое оптимальное решение будет решением системы (38). 
       Если же альтернативная система несовместна, ~
                                                   y ≠ 0 , то по условию
         ~
(37) 1 > δ > 0 и вектор
                                   −1 ~
                              x=      y
                                   δ
будет решением исходной системы (23). Причем, когда это следует из
задачи (35), (36) вектор ~
                         x будет решением системы (23) с минимальной
евклидовой нормой, т.е. он будет решением задачи

                             ∑ x 2j → min ,       Ax ≥ b .
     Изложенный здесь подход к поиску решения систем линейных
неравенств с наименьшей нормой на основы минимизации суммы
квадратов невязок двойственной системы активно развивается в работах
Голикова и Евтушенко [3-5].
     6.3 Решение        систем       нелинейных              неравенств   методом
линеаризации
     Обсуждавшаяся в предыдущем параграфе задача минимизации сумм
квадратов невязок альтернативной системы линейных неравенств может
использоваться в качестве составной части алгоритмов решения систем
нелинейных неравенств.
     Системы нелинейных неравенств. Рассмотрим задачу нахождения
вектора x ∈ R n , удовлетворяющего условию
                             g ( x) ≤ 0.                             (38)
Здесь g ( x) – вектор-функция с компонентами gi ( x), i = 1,K, m. Причем
функции gi непрерывно дифференцируемые, т.е. при любом x ∈ R n для
любого i = 1,K, n существует вектор частных производных ∇gi ( x) ∈ R n , все
компоненты которого являются непрерывными функциями от x .
    Обозначим h функцию от вектора x ∈ R n , равную сумме квадратов
невязок системы (38)
                                       m
                            h( x) = ∑ ( gi ( x)) 2+ .
                                     i =1
Отметим, что проблему поиска решения системы (38) можно представить в
виде задачи безусловной оптимизации
                           h( x) → min, x ∈ R n .                 (39)
Система (38) имеет решение в том и только том случае, если задача (39)
имеет оптимальное решение со значением целевой функции, равным нулю.
Такое оптимальное решение будет решением системы (38).




                                           94

Страницы