Математическое введение в декларативное программирование. Зюзысов В.М. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

чтобы у нас был неограниченный запас имен переменных, часто пользуются индексами,
например, x
1
.
Более сложные выражения образуются применением символов операций к более
простым. Операция, соответствующая символу, применяется к предметам и в результате
дает тоже предмет. Например, символу × сопоставляется операция над числами, дающая
по двум числам их произведение. В общем случае n-местную операцию f, примененную к
выражениям t
1
,…,t
n
, будем обозначать f(t
1
,…,t
n
), такую форму записи называют функцио-
нальной.
Выражение, обозначающее предмет, называется термом.
Операции называются еще функциональными символами, или просто функциями.
2.3.2 Предикаты и элементарные формулы
Чтобы образовать высказывание из предметов, нужно соединить их отношением; n-
местное отношение – операция, сопоставляющая n предметам высказывание. Например,
двуместное отношение «=» сопоставляет двум числам x и y высказывание «x = y», в част-
ности 2 = 2 – истинное высказывание, а 2 = 5 – ложное высказывание. Одноместное отно-
шение « … – положительное число» для числа 5 является истинным высказыванием «5 –
положительное число». В «теории человеческих отношений» двуместное отношение «лю-
бить» сопоставляет паре (Ромео, Джульетта) истинное высказывание, а паре (Демон, Та-
мара) – ложное высказывание.
В математике чаще всего встречаются одноместные и двуместные (бинарные) от-
ношения. Бинарные отношения обычно записываются между своими аргументами, на-
пример, 4 < 7, x
2
+2x+1 > 0 и т. д. Одноместные отношения в математике часто записыва-
ются при помощи символа ∈ и символа для множества объектов, обладающих данным
свойством. Например, утверждение «π – действительное число» записывается в виде π∈R,
где R обозначает множество действительных чисел.
В логике для единообразия мы пользуемся записью
P(t
1
,…,t
n
),
чтобы обозначить высказывание, образованное применением n-местного отношения P к
предметам t
1
,…,t
n
. Символ P, изображающий отношение называется предикатом. «Пре-
дикат» и «отношение» соотносятся как имя и предмет, им обозначаемый. Но в математике
эти два понятия употребляются почти как синонимы. В логических материалах мы будем
пользоваться строгим термином «предикат», а в конкретных приложениях, когда это во-
шло в математическую традицию, использовать и слово «отношение» (например, говорить
об отношении «>» в формуле a > b).
В такой записи 2 = 4 выглядит следующим образом:
=(2, 4).
Элементарные (или атомарные) формулы имеют вид P(t
1
,…,t
n
), где P – n-местный преди-
кат, t
1
,…,t
n
– термы. В обычной математике элементарные формулы называются просто
формулами.
Сложные формулы строятся из элементарных. Задавая язык конкретной математи-
ческой теории, непосредственно определяют именно элементарные формулы и их смысл.
Для того чтобы задать элементарные формулы, необходимо определить предикаты,
используемые в нашей теории, и ее термы. А чтобы задать термы, нужно определить сорта
объектов, константы и операции. В совокупности предикаты, сорта, константы, операции
составляют словарь (или сигнатуру) теории.
Интерпретация
Задав словарь теории, необходимо проинтерпретировать все понятия, перечисленные в
нем. При этом константам сопоставляются конкретные объекты, задаются правила вычис-
ления функций, сопоставленных операциям, и правила, по которым определяются логиче-
12

Страницы