ВУЗ:
Составители:
«каково бы ни было x, A(x)»,
«для каждого x (верно) A(x)»,
«всегда имеет место A(x)»,
«каждый обладает свойством A»,
«свойство A присуще всем»
и т.п. Утверждение ∀x A(x) истинно тогда и только тогда, когда A(c) истинно, какой бы
конкретный предмет c из универсума нашей теории мы ни подставляли вместо x.
Квантор общности
Утверждение ∀x A(x) истинно тогда и только тогда, когда A(x) истинно при любом фикси-
рованном значении x. Утверждение ∀x A(x) ложно тогда и только тогда, когда имеется
хоть один предмет c из нашего универсума (другими словами, хотя бы одно значение x),
такой, что A(c) ложно.
Отрицание
Утверждение ¬ A истинно тогда и только тогда, когда A ложно, и ложно в противном слу-
чае.
Связки &, ∨, ⊃, ~ и ¬ называются связками исчисления высказываний или пропози-
циональными связками.
Квантор «для всех». Утверждение «для всех x верно A(x)» символически записы-
вается ∀x A(x). Символ ∀ называется квантором всеобщности (или универсальным кван-
тором). Эта же связка используется при переводе утверждений:
«A верно при любом значении x»,
«для произвольного x имеет место A(x)»,
«каково бы ни было x, A(x)»,
«для каждого x (верно) A(x)»,
«всегда имеет место A(x)»,
«каждый обладает свойством A»,
«свойство A присуще всем»
и т.п. Утверждение ∀x A(x) истинно тогда и только тогда, когда A(c) истинно, какой бы
конкретный предмет c из универсума нашей теории мы ни подставляли вместо x.
Квантор общности
Утверждение ∀x A(x) истинно тогда и только тогда, когда A(x) истинно при любом фикси-
рованном значении x. Утверждение ∀x A(x) ложно тогда и только тогда, когда имеется
хоть один предмет c из нашего универсума (другими словами, хотя бы одно значение x),
такой, что A(c) ложно.
Выразительные средства языка, который мы описываем, принципиально ограниче-
ны в одном важном отношении: нет возможности говорить о произвольных свойствах
объектов теории, т. е. о произвольных подмножествах множества всех объектов. Синтак-
сически это отражается в запрете формулировать выражения, скажем вида ∀P(P(x)), где P
− предикат. Предикаты обозначают фиксированные, а не переменные свойства. Поэтому
данный язык называется языком логики предикатов первого порядка (или просто языком
первого порядка).
Фрагмент языка первого порядка, где элементарные формулы обозначаются просто
переменными (называемыми «высказывательными» или «пропозициональными»), а кван-
торы совсем не используются называется языком логики высказываний.
Языки, в которых допускаются кванторы по свойствам (предикатам) и (или) по
функциям (а также, возможно, по свойствам свойств и т. д.), называются языками высших
16
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
