Математика. Абубакиров Н.Р - 122 стр.

       Если сравнивать с решением, полученным выше, то мы видим, что роль
                                                                            (3 y(0)  x(0)  7)
произвольной константы C1 играет произвольная константа                                         ,а
                                                                                     2
роль произвольной константы C2 играет произвольная константа
    ( y(0)  x(0) 1)
                     .
            2
       §3.13. Приближенные решения дифференциальных уравнений и систем, их
                                устойчивость

Метод Эйлера и его модификации. Познакомимся с методом Эйлера
численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка y  f ( x, y), y( x0 )  y0 . Предположим, что мы должны решить задачу
на отрезке [x0 , x0  b] . Разделим отрезок [x0 , x0  b] на n равных частей, равных
 . Заменим на каждом отрезке [x0  k , x0  (k 1)]  [ xk , xk 1] , k  0,..., n 1,
решение дифференциального уравнения линейной функцией
yk ( x)  yk  f ( xk , yk )( x  xk ) . При этом имеем узловые значения решения:
y1  y0  f ( x0 , y0 ), y2  y1  f ( x1, y1),..., yn  yn1  f ( xn1, yn1).

    Мы здесь приравниваем отношение приращений функции и аргумента
производной в точке, соответствующей началу отрезка разбиения:
                          yk 1  yk
                                      f ( xk , yk ) .
                              


    Очевидно, что такое приближение является тем менее точным, чем дальше
мы отойдем от точки ( x0 , y0 ) . Метод Эйлера является наиболее примитивным.
Здесь интегральная кривая заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных
отрезков. Возможны его некоторые модификации, несколько улучшающие
точность. Например, если брать постоянные значения в виде

                                                
       yk 1  yk  f ( xk  , yk  f ( xk , yk ) ) .
                            2                    2


     Наиболее распространенным численным методом решения указанной
задачи Коши является метод Рунге-Кутта. При решении дифференциального
уравнения этим методом интегральная кривая заменяется ломаной, состоящей
из кусков парабол. Метод Рунге-Кутта встроен в пакет программ Maxima.
                                                   122