Математика. Абубакиров Н.Р - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

121
1 2 1
1 1 2
12
12
( ),
( ).
C C f t
D D f t





Решив систему и проинтегрировав
()
j
Ct
,
1,2j
, мы получим решение
неоднородной системы.
Пример. Решить систему
3
5 ( ) 3 ( ) 2 ,
( ) ( ) 5 .
t
t
x x t y t e
y x t y t e
Решим характеристическое уравнение для однородной системы:
53
0
11
k
k

. Корнями этого уравнения являются числа
12
2, 4kk
.
Следовательно, за общее решение однородной системы можно взять функции
2 4 2 4
1 2 1 2
( ) 3 , ( )
t t t t
x t C e C e y t C e C e
.
Теперь общее решение неоднородной системы возьмем в виде
2 4 2 4
1 2 1 2
( ) ( ) 3 ( ) , ( ) ( ) ( )
t t t t
x t C t e C t e y t C t e C t e
. Для определения
функций
,
1,2j
, решим систему
2 4 3
12
24
12
( ) 3 ( ) 2 ,
( ) ( ) 5 .
t t t
t t t
C t e C t e e
C t e C t e e




Получим
35
12
15 5
( ) , ( )
22
t t t t
C t e e C t e e

. В итоге получим общее
решение неоднородной системы:
332 4 2 4
1 2 1 2
( ) 3 , ( )4 2 2
t t t tt t t t
x t C e C e y t C e C ee e e e


.
Программа Maxima также позволяет решить систему двух линейных
уравнений. Для решения предыдущей системы достаточно ввести команду
desolve(['diff(x(t),t)-5*x(t)+3*y(t)=2*%e^(3*t),'diff(y(t),t)-x(t)-
y(t)=5*%e^(-t)],[x(t),y(t)]); и нажать Shift+Enter. Компьютер выведет ответ:
32
32
4
4
.
(3 (0) 3 (0) 3) (3 (0) (0) 7)
( ) ,
22
( (0) (0) 1) (3 (0) (0) 7)
()
22
4
22
t t t
t t t
t
t
y x y x
x t e
y x y x
y t e
e e e
e e e



      C   C        f1 (t ),
      1 1       2  2
     
      D11  D12    f 2 (t ).

     Решив систему и проинтегрировав C j (t ) , j  1,2 , мы получим решение
неоднородной системы.

                             
                               x  5x(t )  3 y(t )  2e3t ,
     Пример. Решить систему 
                                          
                                             y  x(t )  y(t )  5et .

     Решим характеристическое уравнение для однородной системы:
5  k 3
          0 . Корнями этого уравнения являются числа k1  2, k2  4 .
  1 1 k
Следовательно, за общее решение однородной системы можно взять функции
x(t )  C1e2t  3C2e4t , y(t )  C1e2t  C2e4t .

     Теперь общее решение неоднородной системы возьмем в виде

     x(t )  C1(t )e2t  3C2 (t )e4t , y(t )  C1(t )e2t  C2 (t )e4t . Для определения
функций C j ( x) , j  1,2 , решим систему

     C  (t )e2t  3C  (t )e4t  2e3t ,
      1              2
                                    t
      C1 (t )e  C2 (t )e  5e .
              2t           4t


                                      15 3t                 5
     Получим C1 (t )  et             e , C2 (t )  et  e5t . В итоге получим общее
                                       2                     2
решение неоднородной системы:
x(t )  4e3t  et  C1e2t  3C2e4t , y(t )  2e3t  2et  C1e2t  C2e4t .

    Программа Maxima также позволяет решить систему двух линейных
уравнений. Для решения предыдущей системы достаточно ввести команду

     desolve(['diff(x(t),t)-5*x(t)+3*y(t)=2*%e^(3*t),'diff(y(t),t)-x(t)-
y(t)=5*%e^(-t)],[x(t),y(t)]); и нажать Shift+Enter. Компьютер выведет ответ:

                (3 y(0)  3x(0)  3) 4t         (3 y(0)  x(0)  7) 2t t
     x(t )                        e  4e3t                      e e ,
                          2                              2
                ( y(0)  x(0) 1) 4t         (3 y(0)  x(0)  7) 2t
      y(t )                     e  2e3t                      e  2et .
                        2                             2

                                                    121

Страницы