Математика. Абубакиров Н.Р - 119 стр.

k мы получим различные соотношения между коэффициентами C и D .
Получив два частных решения с произвольными коэффициентами, мы сложим
их и получим общее решение.

                                 
                                   x  2 x  y,
     Примеры. 1) Решить систему 
                                  y  3x  4 y.
                                 

                                                     2k 1
     Решим характеристическое уравнение                      0 . Оно имеет два
                                                      3 4k
различных корня: k  1, k  5 . При k  1 мы имеем следующую связь между
C и D : C  D  0 . При k  5 получим: 3C  D  0 . Обозначив через C1
коэффициент при et , а через C2 – коэффициент при e5t в выражении x(t ) , мы
получим общее решение: x(t )  C1et  C2e5t , y(t )  C1et  3C2e5t .

    Заметим, что не обязательно находить связь между C и D , можно,
получив общее решение для x(t ) , найти общее решение для y(t ) из первого
уравнения системы. В данном случае, зная x(t )  C1et  C2e5t , можно найти
y(t )  x(t )  2x(t )  C1et  3C2e5t .

    Возникает вопрос: в каком виде брать решение, если характеристическое
уравнение имеет либо кратные, либо комплексные корни? По аналогии с
решением линейного однородного уравнения второго порядка, возьмем
частные решения в соответствующем виде. Так, в случае, когда мы получим
единственный корень k0 кратности два, функции, дающие решения системы
примут вид x(t )  C1e           C2tek0t , а в случае, когда корнями
                          k0t

характеристического уравнения являются комплексные числа   i , решения
системы примут вид x(t )  C1et cos  t  C2et sin  t . Естественно, что
коэффициенты при частных решениях двух функций зависят друг от друга.

                        
                          x  x  3 y,
     2) Решить систему 
                         y  3x  y.
                        

     Характеристическим уравнением системы является уравнение
1 k 3
         0 . Корни характеристического уравнения: 1 3i . Поэтому
 3 1 k


                                               119