Математика. Абубакиров Н.Р - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

118
запишется теперь в виде
12
( ) ( ln| | )
x
y x e x C x x C x
. Заметим, что в силу
произвольности константы
2
C
выражение
2
x C x
можно заменить
выражением
2
Cx
. Поэтому решение можно записать в виде
12
( ) ( ln| | )
x
y x e C x x C x
.
§3.12. Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Однородные системы. Решение системы предполагает, что мы должны найти
2 функции
( ) и ( )x t y t
, удовлетворяющих уравнениям
( ) ( ),
( ) ( ).
x a x t b y t
y c x t d y t
Попробуем найти решение системы из двух дифференциальных
уравнений в виде
12
( ) , ( )
kx kx
y x Ce y x De
. Подставим эти функции в
исходную систему и сократим оба уравнения на
. Мы получим
алгебраическую систему из двух уравнений
( ) 0,
( ) 0,
C a k Db
Cc D d k
относительно неизвестных констант
C
и
D
. Как известно, однородная
линейная алгебраическая система имеет только нулевые решения, если главный
определитель системы отличен от нуля. Следовательно, чтобы получить
нетривиальные решения, мы должны приравнять определитель этой системы
нулю. Таким образом, число
k
должно быть корнем уравнения
()
0
a k b
c d k
,
называемого характеристическим уравнением системы
( ) ( ),
( ) ( ).
x a x t b y t
y c x t d y t
После того, как мы определим значения
k
(два значения в соответствии с
основной теоремой алгебры), связь между коэффициентами
C
и
D
определится, например, из первого уравнения алгебраической системы –
соотношения
( ) 0C a k Db
. Очевидно, что при различных значениях числа 
запишется теперь в виде y( x)  ex ( x  C1  x ln | x | C2 x) . Заметим, что в силу
произвольности константы C2 выражение  x  C2 x можно заменить
выражением C2 x . Поэтому решение можно записать в виде
y( x)  ex (C1  x ln | x | C2 x) .

 §3.12. Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными
                             коэффициентами

Однородные системы. Решение системы предполагает, что мы должны найти
2 функции x(t ) и y(t ) , удовлетворяющих уравнениям

        
         x  a  x(t )  b  y (t ),
        
         y  c  x(t )  d  y (t ).
          


    Попробуем найти решение системы из двух дифференциальных
уравнений в виде y1( x)  Cekx , y2 ( x)  Dekx . Подставим эти функции в
исходную систему и сократим оба уравнения на ekx . Мы получим
алгебраическую систему из двух уравнений

           C (a  k )  Db  0,
           
           
           Cc  D(d  k )  0,
           

    относительно неизвестных констант C и D . Как известно, однородная
линейная алгебраическая система имеет только нулевые решения, если главный
определитель системы отличен от нуля. Следовательно, чтобы получить
нетривиальные решения, мы должны приравнять определитель этой системы
нулю. Таким образом, число k должно быть корнем уравнения

                                (a  k ) b
                                              0,
                                   c     d k

     называемого характеристическим уравнением системы

                          
                           x  a  x(t )  b  y (t ),
                          
                           y  c  x(t )  d  y (t ).
                            


    После того, как мы определим значения k (два значения в соответствии с
основной теоремой алгебры), связь между коэффициентами C и D
определится, например, из первого уравнения алгебраической системы –
соотношения C(a  k )  Db  0 . Очевидно, что при различных значениях числа
                                                      118

Страницы