Математика. Абубакиров Н.Р - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

116
Если подставить найденное выше решение в начальные условия, мы
получим систему
12
12
0,
2 1.
CC
CC


Решение этой системы:
12
11
,
33
CC
. Остается подставить полученные
константы в решение:
2
11
()
33
xx
y x e e
.
Теперь применим программу Maxima. Введем ‘diff(y,x,2)+’diff(y,x)-2*y=0,
нажмем Shift+Enter. Пусть номер выведенного на экран уравнения %o1. Теперь
введем ode2(%o1,y,x) и нажмем Shift+Enter. Мы получим общее решение
уравнения под номером %o2. Теперь введем начальные условия:
ic2(%o2,x=0,y=0,’diff(y,x)=1) и нажмем Shift+Enter. Компьютер выведет
решение задачи Коши:
2
11
()
33
xx
y x e e
.
2)Найти решение задачи Коши для уравнения
4 4 0y y y
,
удовлетворяющее начальным условиям
(0) 1, (0) 1yy
.
Характеристическое уравнение
2
4 4 0kk
имеет единственный корень
1k
кратности 2. Поэтому общее решение примет вид
.
Подставляем общее решение в начальные условия:
1
12
1,
2 1.
C
CC
Отсюда
12
1, 3CC
, и следовательно,
22
( ) 3
xx
y x e xe
.
3) Найти решение задачи Коши для уравнения
2 10 0y y y
,
удовлетворяющее начальным условиям
(0) 1, (0) 0yy
.
Характеристическое уравнение
2
2 10 0kk
имеет два комплексных
корня
11
1 3 , 1 3k i k i
. Поэтому общее решение примет вид
12
(( ) cos3 sin3 )
x
y x e C x C x

. Подставляем общее решение в начальные
условия:
1
12
1,
3 0.
C
CC
Отсюда
12
1
1,
3
CC
, и следовательно,
(
1
( ) cos3 sin3 )
3
x
y x e x x

. 
    Если подставить найденное выше решение в начальные условия, мы
                 C  C  0,
получим систему  1   2
                  C1  2C2    1.

                                         1                 1
    Решение этой системы: C1  , C2   . Остается подставить полученные
                                         3                 3
                                 1           1
константы в решение: y( x)  e x  e2 x .
                                 3           3
    Теперь применим программу Maxima. Введем ‘diff(y,x,2)+’diff(y,x)-2*y=0,
нажмем Shift+Enter. Пусть номер выведенного на экран уравнения %o1. Теперь
введем ode2(%o1,y,x) и нажмем Shift+Enter. Мы получим общее решение
уравнения под номером %o2. Теперь введем начальные условия:
ic2(%o2,x=0,y=0,’diff(y,x)=1) и нажмем Shift+Enter. Компьютер выведет
                                     1           1
решение задачи Коши: y( x)  e x  e2 x .
                                     3           3
2)Найти решение задачи Коши для уравнения y  4 y  4 y  0 ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, y(0)  1.

Характеристическое уравнение k 2  4k  4  0 имеет единственный корень k  1
кратности 2. Поэтому общее решение примет вид y( x)  C1e2 x  C2 xe2 x .
                                                                   C1  1,
Подставляем общее решение в начальные условия: 
                                                               2C1  C2  1.
                                                               

    Отсюда C1  1, C2  3 , и следовательно, y( x)  e2 x  3xe2 x .



3) Найти решение задачи Коши для уравнения y  2 y 10 y  0 ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)  1, y(0)  0 .

    Характеристическое уравнение k 2  2k 10  0 имеет два комплексных
корня k1  1 3i, k1  1 3i . Поэтому общее решение примет вид
y( x)  e x (C1 cos3x  C2 sin3x) . Подставляем общее решение в начальные
            C1  1,
условия: 
         C1  3C2  0.
         

                           1                                               1
    Отсюда C1  1, C2  , и следовательно, y( x)  e x (cos3x  sin3x) .
                           3                                               3

                                                     116

Страницы