Математика. Абубакиров Н.Р - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

114
( ) 100
kt
C t kte

. Поэтому, интегрируя по частям, получим
1
( ) 100 100( ) 100 ( )
kt kt kt kt
C t t k e dt t e e dt e t C
k

. Таким образом,
1
)( ) 100(
kt
p t t C
k
e

. Теперь нам необходимо использовать данные в
моменты 0 и 3 для получения неизвестных констант
C
и
k
. Используя
информацию
(0) 0p
, то есть,
100
0 C
k
, получим
100
C
k
, и теперь
решение принимает вид
. А теперь используем
соотношение
1
)
100
3 100(1
k
k
k
e

. Это трансцендентное уравнение
относительно неизвестного коэффициента пропорциональности
k
.
Решим его приближенно с помощью программы Maxima. Если нарисовать
графики функций
1
) и
100
3 100(1
k
yy
k
k
e
по команде plot2d([3-100(1-
k),100/k*%e^-k],[k,0.001,0.5]), мы увидим, что соответствующие графики
пересекаются. Поэтому команда find_root(100*(1-1/k)+100/k*%e^(-k)-
3,k,0.001,0.5) и нажатие клавиш Shift+Enter приводит к нахождению
приближенного значения коэффициента пропорциональности:
0.061230839854229 0,06k 
.
Теперь необходимая зависимость найдена:
0,06
0,06
)
1
)
100
( ) 100( 100 1633(1
0,06
0,06
t
t
p t t te e
.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Это уравнения, имеющие вид
12
()y a y a y f x
, где
12
,aa
–
постоянные коэффициенты. Общее решение такого дифференциального
уравнения 2-го порядка должно содержать 2 произвольных постоянных
12
,CC
.
Однородным линейным уравнением
n
-го порядка называется уравнение
вида
12
0y a y a y
.
Метод решения. Искать частное решение однородного уравнения будем
в виде
()
kx
y x e
. Подставив
()yx
в указанном виде в однородное уравнение, 
C(t )  ekt  100kt . Поэтому, интегрируя по частям, получим
                                                                   1
C (t )  100 t  k  ekt dt  100(t  ekt  ekt dt ) 100ekt (t  )  C . Таким образом,
                                                                   k
                1
p(t )  100(t  )  Cekt . Теперь нам необходимо использовать данные в
                k
моменты 0 и 3 для получения неизвестных констант C и k . Используя
                                    100                   100
информацию p(0)  0 , то есть, 0       C , получим C      , и теперь
                                     k                     k
                                     1 100 kt
решение принимает вид p(t )  100(t  )       e . А теперь используем
                                     k     k
                       1 100 k
соотношение 3  100(1 )       e . Это трансцендентное уравнение
                      k      k
относительно неизвестного коэффициента пропорциональности k .

    Решим его приближенно с помощью программы Maxima. Если нарисовать
                             1        100 k
графики функций y  3 100(1 ) и y     e по команде plot2d([3-100(1-
                                          k            k
k),100/k*%e^-k],[k,0.001,0.5]), мы увидим, что соответствующие графики
пересекаются. Поэтому команда find_root(100*(1-1/k)+100/k*%e^(-k)-
3,k,0.001,0.5) и нажатие клавиш Shift+Enter приводит к нахождению
приближенного значения коэффициента пропорциональности:
k  0.061230839854229  0,06.

     Теперь необходимая зависимость найдена:

                         1          100 0,06t
      p(t )  100(t           )        e      100t 1633(1 e0,06t ) .
                        0,06        0,06

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами

     Это уравнения, имеющие вид y  a1 y  a2 y  f ( x) , где a1, a2 –
постоянные коэффициенты. Общее решение такого дифференциального
уравнения 2-го порядка должно содержать 2 произвольных постоянных C1, C2 .

    Однородным линейным уравнением n -го порядка называется уравнение
вида y  a1 y  a2 y  0 .

     Метод решения. Искать частное решение однородного уравнения будем
в виде y( x)  ekx . Подставив y( x) в указанном виде в однородное уравнение,

                                                 114

Страницы