Математика. Абубакиров Н.Р - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

112
вид
0
00
()
()
Ukt
Uu
ut
U u e u

. Проанализируем полученное решение для двух
разных случаев: а)
0
Uu
и б)
0
Uu
. В случае а) слагаемое
0
()
Ukt
U u e
в
знаменателе решения положительно, и с увеличением времени
t
оно
уменьшается к нулю. Следовательно, знаменатель в выражении
()ut
уменьшается, а число особей
()ut
увеличивается и стремится к
U
. В случае б)
слагаемое
в знаменателе отрицательно, и с увеличением времени
t
оно увеличивается к нулю. Следовательно, знаменатель в выражении
()ut
увеличивается, а число особей
()ut
уменьшается и стремится к
U
.
Таким образом, число особей будет стремиться к оптимальному числу
U
вне зависимости от того, сколько особей было в начальный момент.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Так называется дифференциальное уравнение вида
( ) ( )y a x y b x
. Здесь
сама функция и ее производная связаны линейно.
Метод решения. Решать уравнение будем методом вариации
произвольной постоянной в два этапа.
а) Сначала решим соответствующее уравнение с нулевым свободным
членом, называемое линейным однородным уравнением:
00
()y a x y
. Это
уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет
решение
0
()
()
a x dx
y x C e

.
б) Теперь мы будем искать решение исходного неоднородного уравнения в
виде
()
()
a x dx
y C x e

. Найдем неизвестный множитель
()Cx
, подставив
y
в
указанном виде в заданное уравнение. Мы получим
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a x dx a x dx a x dx
C x e C x a x e C x a x e b x
.
После взаимного уничтожения одинаковых слагаемых в левой и правой
частях придем к соотношению
()
( ) ( )
a x dx
C x e b x
. Отсюда мы найдем
()Cx
, а
затем и
()Cx
с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Примеры. 1) Найти решение задачи Коши
2
y
yx
x

,
(1) 0y
. 
                         U  u0
вид u(t )                             . Проанализируем полученное решение для двух
                   (U  u0 )eUkt  u0
разных случаев: а) U  u0 и б) U  u0 . В случае а) слагаемое (U  u0 )eUkt в
знаменателе решения положительно, и с увеличением времени t оно
уменьшается к нулю. Следовательно, знаменатель в выражении u(t )
уменьшается, а число особей u(t ) увеличивается и стремится к U . В случае б)
слагаемое (U  u0 )eUkt в знаменателе отрицательно, и с увеличением времени
t оно увеличивается к нулю. Следовательно, знаменатель в выражении u(t )
увеличивается, а число особей u(t ) уменьшается и стремится к U .

     Таким образом, число особей будет стремиться к оптимальному числу U
вне зависимости от того, сколько особей было в начальный момент.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

    Так называется дифференциальное уравнение вида y  a( x) y  b( x) . Здесь
сама функция и ее производная связаны линейно.

    Метод решения. Решать уравнение будем методом вариации
произвольной постоянной в два этапа.

    а) Сначала решим соответствующее уравнение с нулевым свободным
членом, называемое линейным однородным уравнением: y0  a( x) y0 . Это
уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет
решение y0 ( x)  C  e
                                           a ( x ) dx
                                                        .

      б) Теперь мы будем искать решение исходного неоднородного уравнения в
виде y  C ( x)  e
                              a ( x ) dx
                     . Найдем неизвестный множитель C ( x) , подставив y в
указанном виде в заданное уравнение. Мы получим
C( x)  e                C ( x)  a( x)e                         C( x)  a( x)e
              a ( x) dx                                 a ( x) dx                         a ( x) dx
                                                                                                       b( x) .

      После взаимного уничтожения одинаковых слагаемых в левой и правой
частях придем к соотношению C( x)  e
                                                                             a ( x ) dx
                                                                                           b( x) . Отсюда мы найдем           C( x) , а
затем и C ( x) с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

                                                                                                         y
      Примеры. 1) Найти решение задачи Коши y                                                             x2 , y(1)  0 .
                                                                                                         x

                                                                            112

Страницы