Математика. Абубакиров Н.Р - 110 стр.

коэффициент k нам не задан. Поэтому помимо задания начального условия
(100 особей) мы провели контрольный замер через сутки (150 особей).
Подставим имеющиеся данные в полученное решение u(t )  Cek t . У нас есть
два соотношения: 100  Cek0 и 150  Cek1 . Из первого соотношения мы
получим C  100 . Теперь второе соотношение выглядит так: 150  100ek .
Следовательно, ek  1,5 . Теперь решение дифференциального уравнения
запишем в виде u(t )  100 1,5t . Следовательно, через трое суток будет
u(3)  100 1,53  506 особей.

                                                     1 x2
    2) Найти решение дифференциального уравнения yy         1,
                                                     1 y 2
удовлетворяющее условию y(0)  0 .

    Представим производную в уравнении в виде отношения дифференциалов
dy      1 x2                             ydy
                                                 
                                                    dx
    y         1 и разделим переменные:                . Проинтегрируем
dx      1 y 2
                                          1 y 2   1 x2
обе части последнего соотношения по соответствующим переменным и
получим связь между функцией и аргументом:  1 y 2  arcsin x  C . Теперь
нужно удовлетворить начальному условию y(0)  0 . Подставляя заданные
значения в полученное решение, получим 1  0  C или C  1.
Следовательно, из всех решений следует выбрать то, где константа C  1, то
есть, имеем соотношение  1 y 2  arcsin x 1 или
y( x)   2arcsin x  (arcsin x)2 .

    3) Найти решение дифференциального уравнения (1 ex ) y  yex ,
удовлетворяющее условию y(0)  2 .

    Представим производную в уравнении в виде отношения дифференциалов
                            dy e x dx
и разделим переменные:                . Интегрируя обе части, получим
                             y 1 e x
ln y  ln(1 ex )  ln C или y  C(ex  1) . Подставляя в полученное решение
уравнения значения x  0 и y  2 , получим C  1. Поэтому решением
поставленной задачи Коши является y  (ex 1) .

    Для решения дифференциальных уравнений и задач Коши удобно
применять программу Maxima. Решим задачу Коши, рассмотренную в
предыдущем примере, с помощью компьютера. Для этого введем в память
                                       110