Математика. Абубакиров Н.Р - 111 стр.

компьютера дифференциальное уравнение: (1+%e^x)*‘diff(y,x)=y*%e^x и
нажмем Shift+Enter. На следующей строчке появится введенное уравнение.
Заметим, что перед командой diff(y,x) обязательно должен стоять апостроф ‘,
иначе компьютер продифференцирует y по x и выдаст 0. Теперь для того, чтобы
решить введенное дифференциальное уравнение (не выше второго порядка),
посмотрим, под каким номером (например, (%o1)) запомнил компьютер
введенное уравнение, этот номер стоит перед дифференциальным уравнением,
выведенным компьютером на экран. Компьютер решит дифференциальное
уравнение по команде ode2(%o1,y,x) и Shift+Enter и выведет на экран
y=%c*(%e^x+1). Решение уравнения получено. Роль C в компьютерной записи
выполняет %c. Теперь используем начальное условие. Для этого посмотрим
номер, под которым компьютер вывел на экран решение уравнения (например,
%o2). Введем команду ic1(%o2,x=0,y=2) и нажмем Shift+Enter. Мы получим
решение задачи Коши y=%e^x+1.

    4) В примере 1 мы рассматривали рост популяции при отсутствии
препятствий к размножению. Однако этот процесс возможен только тогда,
когда число особей не слишком велико, и существование каждой особи не
ограничивает условий существования других особей. Рассмотрим случай
размножения особей с учетом конкуренции (когда появление новых особей
ограничивает возможности прокорма остальных). В этом случае скорость роста
популяции пропорциональна как количеству особей, так и разности между
некоторым оптимальным значением (U ) и реальным количеством особей. То
есть, u(t )  k  u(t )  (U  u(t )) . Это и есть дифференциальное уравнение,
описывающее процесс размножения в условиях конкуренции и называемое
логистическим уравнением. Это уравнение описывает, например, процесс
изменения количество рыб в замкнутом водоеме.

       Логистическое уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными. Представляя производную в виде отношения дифференциалов и
разделяя переменные, придем к соотношению

                       1 1       1 
                       U   u U  u 
                                    du   kdt .


                            u(t )
    Интегрируя, получим               C  eUkt . Предположим, что в начальный
                           U  u(t )
                                                      u0
момент (при t  0 ) было u0 особей. Тогда C               , и решение принимает
                                                    U  u0

                                       111