Математика. Абубакиров Н.Р - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

109
содержащие
x
и
y
. Мы получим равенство двух дифференциалов:
()
()
dy
f x dx
gy

. После интегрирования правой части по
x
, а левой – по
y
мы
получим слева функцию, зависящую от
y
, а справа – функцию, зависящую от
x
, отличающихся на константу:
()
()
dy
f x dx C
gy

.
Примеры. 1) В соответствии с законом роста популяции при отсутствии
препятствий к размножению скорость размножения пропорциональна
количеству особей на текущий момент. То есть, при малом количестве особей
скорость размножения мала, при увеличении популяции скорость возрастает.
Если обозначить
количество особей в момент
t
, то этот закон можно
записать в виде соотношения:
()u t k u
.
Решим полученное дифференциальное уравнение. Разделим переменные:
du
k dt
u

. После интегрирования получим
ln lnu k t C
. Здесь произвольное
постоянное слагаемое мы представили в виде логарифма положительной
постоянной величины для удобства последующего потенцирования:
()
kt
u t Ce
.
Проанализируем полученное решение. Оно содержит постоянные
k
(эта
постоянная зависит от вида особей, условий и особенностей их размножения) и
С
– постоянную интегрирования. Даже, если мы знаем значение числа
k
, мы
сможем использовать решение для прогнозирования количества особей к
интересующему нас моменту только при известном значении константы
С
.
Чтобы узнать, какое количество особей будет к моменту
*
t
, необходимо
знать, сколько их было в начальный момент. Задавая
(0)u
, мы задаем значение
С
. Таким образом, чтобы решать конкретные задачи, процессы в которых
описываются дифференциальными уравнениями, необходимо не только само
уравнение, но и дополнительные данные, количество которых определяется
порядком дифференциального уравнения. Для решения задачи, поставленной
для дифференциального уравнения первого порядка, необходимо задать
начальное условие
0
0
()y t y
. Дифференциальное уравнение вкупе с начальным
условием называется задачей Коши.
Вернемся к рассмотренному процессу размножения особей и решим
следующую задачу. Пусть в начальный момент было 100 особей, через сутки их
оказалось 150. Как узнать, сколько особей окажется через трое суток, если
процесс размножения происходит при тех же условиях? В данном случае 
содержащие x и y . Мы получим равенство двух дифференциалов:
 dy
        f ( x)  dx . После интегрирования правой части по x , а левой – по y мы
g ( y)
получим слева функцию, зависящую от y , а справа – функцию, зависящую от
                                        dy
x , отличающихся на константу: 
                                       g ( y) 
                                              f ( x)  dx  C .

    Примеры. 1) В соответствии с законом роста популяции при отсутствии
препятствий к размножению скорость размножения пропорциональна
количеству особей на текущий момент. То есть, при малом количестве особей
скорость размножения мала, при увеличении популяции скорость возрастает.
Если обозначить u(t ) количество особей в момент t , то этот закон можно
записать в виде соотношения: u(t )  k  u .

     Решим полученное дифференциальное уравнение. Разделим переменные:
du
    k  dt . После интегрирования получим ln u  k  t  ln C . Здесь произвольное
u
постоянное слагаемое мы представили в виде логарифма положительной
постоянной величины для удобства последующего потенцирования: u(t )  Cek t .

    Проанализируем полученное решение. Оно содержит постоянные k (эта
постоянная зависит от вида особей, условий и особенностей их размножения) и
С – постоянную интегрирования. Даже, если мы знаем значение числа k , мы
сможем использовать решение для прогнозирования количества особей к
интересующему нас моменту только при известном значении константы С .

    Чтобы узнать, какое количество особей будет к моменту t * , необходимо
знать, сколько их было в начальный момент. Задавая u(0) , мы задаем значение
С . Таким образом, чтобы решать конкретные задачи, процессы в которых
описываются дифференциальными уравнениями, необходимо не только само
уравнение, но и дополнительные данные, количество которых определяется
порядком дифференциального уравнения. Для решения задачи, поставленной
для дифференциального уравнения первого порядка, необходимо задать
начальное условие y(t0 )  y0 . Дифференциальное уравнение вкупе с начальным
условием называется задачей Коши.

    Вернемся к рассмотренному процессу размножения особей и решим
следующую задачу. Пусть в начальный момент было 100 особей, через сутки их
оказалось 150. Как узнать, сколько особей окажется через трое суток, если
процесс размножения происходит при тех же условиях? В данном случае
                                         109

Страницы