Математика. Абубакиров Н.Р - 108 стр.

           §3.11. Дифференциальные уравнения, типы и методы решения

    Дифференциальным                     уравнением называется соотношение вида
F ( x, y( x), y, y,..., y(n) )  0 . Решить дифференциальное уравнение – это значит,
определить функцию y( x) , удовлетворяющее этому соотношению, возможно, в
неявном или параметрическом виде.

    Простейшее дифференциальное уравнение вида y( x)  f ( x) мы уже
решали, так как находили            y( x)   f ( x)dx . Мы знаем, что интеграл
определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, т.е
решение дифференциального уравнения содержит произвольные постоянные.
Решения более сложных дифференциальных уравнений также находятся с
точностью до произвольных постоянных.

    Любая функция        y( x) , обращающая дифференциальное уравнение в
тождество, называется частным решением этого дифференциального
уравнения. Совокупность всех частных решений образует общее решение
дифференциального уравнения.

    Порядок   дифференциального уравнения определяется наивысшим
порядком входящих в него производных. Поэтому дифференциальное
уравнение вида F ( x, y( x), y, y,..., y(n) )  0 считается дифференциальным
уравнением n -го порядка.

     Так же, как не любая функция может быть проинтегрирована, и
представлена в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное
уравнение имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Класс
дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, узок. Мы изучим
несколько классов дифференциальных уравнений, интегрируемых в
квадратурах, а также рассмотрим некоторые приближенные методы решения
дифференциальных уравнений. Кроме того, мы рассмотрим некоторые задачи,
связанные с применением дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными

    Так называются уравнения вида y  f ( x)  g ( y) .

    Метод решения. Запишем производную в виде отношения
                   dy
дифференциалов:        f ( x)  g ( y) и разнесем в разные части выражения,
                   dx
                                         108