Математика. Абубакиров Н.Р - 113 стр.

        Сначала решим однородное уравнение, соответствующее заданному:
     y0
y0     0 . Разделяя переменные и интегрируя, получим ln y0  ln x  ln C или
     x
y0  Cx . Ищем решение исходного уравнения в виде y( x)  C( x)  x .
Подставляя функцию в таком виде в исходное уравнение, получим C  x  x2
                                x2
или C  x . Поэтому C ( x)          C , и следовательно, решением исходного
                                2
                                                  x3
уравнения будет множество функций y( x)                Cx . Теперь удовлетворим
                                                  2
начальному условию, подставив в решение 0 вместо y и 1 вместо x. Мы
получим 0=0,5+C. Таким образом, решением задачи Коши будет функция
          x3 x
y( x)               .
          2       2

    Решим эту же задачу с применением программы Maxima. Введем ‘diff(y,x)-
y/x=x^2 и нажмем Shift+Enter. Убедившись, что уравнение записано правильно,
введем ode2(%o1,y,x) и нажмем Shift+Enter. Получив общее решение
дифференциального уравнения, применим начальные условия: запишем
ic1(%o2,x=1,y=0) и нажмем Shift + Enter.

     2) Количество особей в популяции искусственно поддерживается с ростом
времени t по закону 100t . В эту популяцию занесена инфекционная болезнь.
Скорость роста числа больных и переболевших к моменту времени t
пропорциональна числу не болевших к тому же моменту. Найти зависимость
суммы числа больных и переболевших от времени, если в начальный момент
t  0 больных не было, а в момент t  1 было уже 3 заразившихся.
        Если обозначить через p(t ) число больных и переболевших к моменту
времени t , то согласно условию имеет место дифференциальное уравнение
 p(t )  k (100t  p(t )) , где k–неизвестный коэффициент пропорциональности.
Кроме того, известно, что p(0)  0, p(1)  3 . Полученное дифференциальное
уравнение – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

        а) Решим однородное уравнение p0 (t )  kp0 (t ) . Разделяя переменные,
получим p0 (t )  Cekt .

      б) Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде
p(t )  C(t )  ekt . Подставляя эту функцию в уравнение, получим



                                            113