Математика. Абубакиров Н.Р - 115 стр.

UptoLike

Рубрика: 

115
получим
2
12
)(0
kx
k a k a e
. Следовательно, неизвестное значение
сомножителя
k
мы найдем, если решим алгебраическое уравнение 2-й степени
2
12
0k a k a
, называемое характеристическим уравнением.
Такое уравнение может иметь а) два разных вещественных корня, если
дискриминант уравнения больше нуля, б) один вещественный корень, если
дискриминант уравнения равен нулю, в) два комплексно-сопряженных корня,
если дискриминант уравнения меньше нуля. В зависимости от этих вариантов
мы будем строить решение однородного уравнения.
а) Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных
корня
1
k
и
2
k
, то общее решение однородного уравнения имеет вид
12
12
()
k x k x
y x C e C e
, где
1
C
и
2
C
произвольные постоянные.
б) Если характеристическое уравнение имеет один вещественный корень
0
k
, то общее решение однородного уравнения имеет вид
00
12
()
k x k x
y x C e C xe
.
в) Если характеристическое уравнение имеет два комплексно-
сопряженных корня
и
2
ki


, то общее решение однородного
уравнения имеет вид
12
(( ) cos sin )
x
y x e C x C x


.
Примеры. 1) Решить дифференциальное уравнение
20y y y
.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение :
2
20kk
. Оно
имеет два решения:
12
1, 2kk
. Поэтому общим решением данного
однородного уравнения является
2
12
()
xx
y x C e C e

.
Когда мы решали дифференциальные уравнения первого порядка,
начальное условие позволяло нам определить неизвестную постоянную,
входящую в решение. В данном случае для определения двух неизвестных
постоянных нам потребуется два начальных условия:
0 0 0 1
( ) , ( )y x y y x y
.
Для определения констант с помощью начальных условий приходится решать
систему из двух уравнений. Вспомним, что уравнение вместе с начальными
условиями называется задачей Коши.
Решим вручную, а затем с помощью программы Maxima задачу Коши для
уравнения из предыдущего примера с начальными условиями
(0) 0, (0) 1yy
.
получим (k 2  a1k  a2 )ekx  0 . Следовательно, неизвестное значение
сомножителя k мы найдем, если решим алгебраическое уравнение 2-й степени
k 2  a1k  a2  0 , называемое характеристическим уравнением.

       Такое уравнение может иметь а) два разных вещественных корня, если
дискриминант уравнения больше нуля, б) один вещественный корень, если
дискриминант уравнения равен нулю, в) два комплексно-сопряженных корня,
если дискриминант уравнения меньше нуля. В зависимости от этих вариантов
мы будем строить решение однородного уравнения.

    а) Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных
корня k1 и k2 , то общее решение однородного уравнения имеет вид
y( x)  C1ek1x  C2ek2x , где C1 и C2 – произвольные постоянные.

     б) Если характеристическое уравнение имеет один вещественный корень
k0 , то общее решение однородного уравнения имеет вид y( x)  C1ek0 x  C2 xek0 x .

    в) Если характеристическое уравнение имеет два комплексно-
сопряженных корня k1    i и k2    i , то общее решение однородного
уравнения имеет вид y( x)  e x (C1 cos  x  C2 sin  x) .

    Примеры. 1) Решить дифференциальное уравнение y  y  2 y  0 .
Запишем соответствующее характеристическое уравнение : k 2  k  2  0 . Оно
имеет два решения: k1  1, k2  2 . Поэтому общим решением данного
однородного уравнения является y( x)  C1e x  C2e2 x .

    Когда мы решали дифференциальные уравнения первого порядка,
начальное условие позволяло нам определить неизвестную постоянную,
входящую в решение. В данном случае для определения двух неизвестных
постоянных нам потребуется два начальных условия: y( x0 )  y0 , y( x0 )  y1 .
Для определения констант с помощью начальных условий приходится решать
систему из двух уравнений. Вспомним, что уравнение вместе с начальными
условиями называется задачей Коши.

    Решим вручную, а затем с помощью программы Maxima задачу Коши для
уравнения из предыдущего примера с начальными условиями y(0)  0, y(0)  1 .




                                          115