ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
115
получим
2
12
)(0
kx
k a k a e
. Следовательно, неизвестное значение
сомножителя
k
мы найдем, если решим алгебраическое уравнение 2-й степени
2
12
0k a k a
, называемое характеристическим уравнением.
Такое уравнение может иметь а) два разных вещественных корня, если
дискриминант уравнения больше нуля, б) один вещественный корень, если
дискриминант уравнения равен нулю, в) два комплексно-сопряженных корня,
если дискриминант уравнения меньше нуля. В зависимости от этих вариантов
мы будем строить решение однородного уравнения.
а) Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных
корня
1
k
и
2
k
, то общее решение однородного уравнения имеет вид
12
12
()
k x k x
y x C e C e
, где
1
C
и
2
C
– произвольные постоянные.
б) Если характеристическое уравнение имеет один вещественный корень
0
k
, то общее решение однородного уравнения имеет вид
00
12
()
k x k x
y x C e C xe
.
в) Если характеристическое уравнение имеет два комплексно-
сопряженных корня
1
ki
и
2
ki
, то общее решение однородного
уравнения имеет вид
12
(( ) cos sin )
x
y x e C x C x
.
Примеры. 1) Решить дифференциальное уравнение
20y y y
.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение :
2
20kk
. Оно
имеет два решения:
12
1, 2kk
. Поэтому общим решением данного
однородного уравнения является
2
12
()
xx
y x C e C e
.
Когда мы решали дифференциальные уравнения первого порядка,
начальное условие позволяло нам определить неизвестную постоянную,
входящую в решение. В данном случае для определения двух неизвестных
постоянных нам потребуется два начальных условия:
0 0 0 1
( ) , ( )y x y y x y
.
Для определения констант с помощью начальных условий приходится решать
систему из двух уравнений. Вспомним, что уравнение вместе с начальными
условиями называется задачей Коши.
Решим вручную, а затем с помощью программы Maxima задачу Коши для
уравнения из предыдущего примера с начальными условиями
(0) 0, (0) 1yy
.
получим (k 2 a1k a2 )ekx 0 . Следовательно, неизвестное значение сомножителя k мы найдем, если решим алгебраическое уравнение 2-й степени k 2 a1k a2 0 , называемое характеристическим уравнением. Такое уравнение может иметь а) два разных вещественных корня, если дискриминант уравнения больше нуля, б) один вещественный корень, если дискриминант уравнения равен нулю, в) два комплексно-сопряженных корня, если дискриминант уравнения меньше нуля. В зависимости от этих вариантов мы будем строить решение однородного уравнения. а) Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня k1 и k2 , то общее решение однородного уравнения имеет вид y( x) C1ek1x C2ek2x , где C1 и C2 – произвольные постоянные. б) Если характеристическое уравнение имеет один вещественный корень k0 , то общее решение однородного уравнения имеет вид y( x) C1ek0 x C2 xek0 x . в) Если характеристическое уравнение имеет два комплексно- сопряженных корня k1 i и k2 i , то общее решение однородного уравнения имеет вид y( x) e x (C1 cos x C2 sin x) . Примеры. 1) Решить дифференциальное уравнение y y 2 y 0 . Запишем соответствующее характеристическое уравнение : k 2 k 2 0 . Оно имеет два решения: k1 1, k2 2 . Поэтому общим решением данного однородного уравнения является y( x) C1e x C2e2 x . Когда мы решали дифференциальные уравнения первого порядка, начальное условие позволяло нам определить неизвестную постоянную, входящую в решение. В данном случае для определения двух неизвестных постоянных нам потребуется два начальных условия: y( x0 ) y0 , y( x0 ) y1 . Для определения констант с помощью начальных условий приходится решать систему из двух уравнений. Вспомним, что уравнение вместе с начальными условиями называется задачей Коши. Решим вручную, а затем с помощью программы Maxima задачу Коши для уравнения из предыдущего примера с начальными условиями y(0) 0, y(0) 1 . 115
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »