Математика. Абубакиров Н.Р - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

117
Решение неоднородного уравнения
12
()y a y a y f x
. Мы уже знаем,
как найти общее решение однородного уравнения. Чтобы найти общее
решение неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариации
произвольной постоянной. Как и в случае решения линейного
дифференциального уравнения первого порядка, сначала мы решаем
соответствующее однородное уравнение
0 0 0
12
0y a y a y
. Такие уравнения
мы решать умеем и знаем, что общее решение этого уравнения имеет вид
0 1 2
12
( ) ( ) ( )y x C y x C y x
, где вид функций
12
( ) и ( )y x y x
зависит от корней
характеристического уравнения.
Получив общее решение однородного уравнения, общее решение
исходного уравнения мы ищем в виде
12
12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x C x y x C x y x
. Теперь
для получения неизвестных функций
12
( ) и ( )C x C x
мы должны решить
систему
12
12
12
12
( ) ( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
C x y x C x y x
C x y x C x y x f x

Найдя
12
( ) и ( )C x C x

из системы, мы должны проинтегрировать эти
функции с точностью до произвольных слагаемых.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения
имеет вид
2
2 1 0kk  
. Следовательно, общее решение однородного
уравнения – функция
0 1 2
()
xx
y x C e C xe
. Поэтому общее решение
неоднородного уравнение ищем в виде
12
( ) ( ) ( )
xx
y x C x e C x xe
. Для
определения неизвестных функций
12
( ), ( )C x C x
составим систему
относительно их производных
12
12
0,
( ) .
xx
x
x x x
C e C xe
e
C e C xe e
x



Сокращая уравнения на
x
e
, мы получим систему с главным
определителем, равным 1. Решая систему и интегрируя, получим
11
( ) ,C x x C
22
( ) ln| |C x x C
. Общее решение исходного уравнения 
     Решение неоднородного уравнения y  a1 y  a2 y  f ( x) . Мы уже знаем,
как найти общее решение однородного уравнения. Чтобы найти общее
решение неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариации
произвольной постоянной. Как и в случае решения линейного
дифференциального уравнения первого порядка, сначала мы решаем
соответствующее однородное уравнение y0  a1 y0  a2 y0  0 . Такие уравнения
мы решать умеем и знаем, что общее решение этого уравнения имеет вид

     y0 ( x)  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) , где вид функций y1 ( x) и y2 ( x) зависит от корней
характеристического уравнения.

    Получив общее решение однородного уравнения, общее решение
исходного уравнения мы ищем в виде y( x)  C1( x)  y1 ( x)  C2 ( x)  y2 ( x) . Теперь
для получения неизвестных функций C1( x) и C2 ( x) мы должны решить
систему

      C1( x)  y1 ( x)  C2 ( x)  y2 ( x)  0,
     
     
     C1( x)  y1( x)  C2 ( x)  y2 ( x)  f ( x).
     

     Найдя C1( x) и C2 ( x) из системы, мы должны проинтегрировать эти
функции с точностью до произвольных слагаемых.

                                                               ex
     Пример. Решить дифференциальное уравнение y  2 y  y  .
                                                               x
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения
имеет вид k 2  2k 1  0 . Следовательно, общее решение однородного
уравнения – функция y0 ( x)  C1ex  C2 xe x . Поэтому общее решение
неоднородного уравнение ищем в виде y( x)  C1( x)e x  C2 ( x) xe x . Для
определения неизвестных функций C1( x), C2 ( x) составим систему
относительно их производных

                
                
                     C1e x  C2 xe x  0,
                                              ex
                C1e x  C2 ( xe x  e x )     .
                                              x


     Сокращая уравнения на e x , мы получим систему с главным
определителем, равным 1. Решая систему и интегрируя, получим
C1( x)   x  C1, C2 ( x)  ln | x | C2 . Общее решение исходного уравнения
                                                          117

Страницы