Математика. Абубакиров Н.Р - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

120
12
( ) cos3 sin3
tt
x t C e t C e t
. Теперь из первого уравнения системы найдем
21
1
( ) ( ( ) ( )) cos3 sin3
3
tt
y t x t x t C e t C e t
.
3) Решить систему
2,
4.
x x y
y x y

Характеристическим уравнением этой системы будет
21
0
14
k
k

.
Корнем этого уравнения кратности два является число 3. Поэтому
33
12
()
tt
x t C e C te
. Используем первое уравнение системы для получения
33
1 2 2
)( ) ( ) 2 ( ) (
tt
y t x t x t C C e C te
33
12
()
tt
x t C e C te
,
33
1 2 2
)( ) (
tt
y t C C e C te
.
Неоднородные системы. В случае неоднородной системы в правой части
каждого из уравнений системы появляется произвольная функция:
Как и в случае линейных уравнений для получения общего решения
неоднородной системы достаточно найти частное решение неоднородной
системы и сложить его с общим решением соответствующей однородной
системы. Метод вариации произвольной постоянной позволяет сразу найти
общее решение неоднородной системы, зная общее решение однородной
системы.
Общим решением однородной системы
( ) ( ),
( ) ( ),
x ax t by t
y cx t dy t


соответствующей исходной неоднородной системе, являются функции
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )x t C t C t y t D t D t
, где
12
( ) и ( )tt

– известные
функции, причем
j
D
линейно выражаются через
j
C
,
1,2j
.
Ищем решение неоднородной системы в виде
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t C t t C t t y t D t t D t t
. Для того, чтобы
найти неизвестные функции
()
j
Ct
,
1,2j
, мы должны решить систему 
x(t )  C1et cos3t  C2et sin3t . Теперь из первого уравнения системы найдем
        1
y(t )  ( x(t )  x(t ))  C2et cos3t  C1et sin3t .
        3
                         
                           x  2 x  y,
     3) Решить систему 
                         y   x  4 y.
                        

                                                                            2k 1
     Характеристическим уравнением этой системы будет                                 0.
                                                                             1 4  k
Корнем этого уравнения кратности два является число 3. Поэтому
x(t )  C1e3t  C2te3t . Используем первое уравнение системы для получения
y(t )  x(t )  2x(t )  (C1  C2 )e3t  C2te3t x(t )  C1e3t  C2te3t ,
y(t )  (C1  C2 )e3t  C2te3t .

Неоднородные системы. В случае неоднородной системы в правой части
каждого из уравнений системы появляется произвольная функция:

       
       x  ax(t )  by(t )  f1(t ),
      
       y  cx(t )  dy(t )  f 2 (t ).
      

    Как и в случае линейных уравнений для получения общего решения
неоднородной системы достаточно найти частное решение неоднородной
системы и сложить его с общим решением соответствующей однородной
системы. Метод вариации произвольной постоянной позволяет сразу найти
общее решение неоднородной системы, зная общее решение однородной
системы.

                                         
                                          x  ax(t )  by (t ),
     Общим решением однородной системы 
                                         y  cx(t )  dy (t ),
                                        
соответствующей исходной неоднородной системе, являются функции
x(t )  C11(t )  C22 (t ), y(t )  D11(t )  D22 (t ) , где 1(t ) и 2 (t ) – известные
функции, причем D j линейно выражаются через C j , j  1,2 .

     Ищем решение неоднородной системы в виде
x(t )  C1(t )1(t )  C2 (t )2 (t ), y(t)  D1(t)1(t)  D2 (t)2 (t) . Для того, чтобы
найти неизвестные функции C j (t ) , j  1,2 , мы должны решить систему

                                                120

Страницы