Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Физическим смыслом производной функции описывающей изме-
нение некоторой характеристик и с течением времени является скорость
изменения значения этой характеристики. Поэтому из дифференци-
ального уравнения можно определить как с течением времени будет
меняться значение характеристики, описывающей некоторый процесс.
7.2. Модель роста численности в случае неограничен-
ности ресурсов. Рассмотрим модель роста численности популяции.
Пусть x(t) – функция, описывающая изменение численности популя-
ции с течением времени.
Буде м считать, что прирост численности пропорционален числен-
ности самой популяции. Так как прирост численности есть произ водная
x
′
(t), то данное утверждение можно записать в виде дифференциаль-
ного уравнения
x
′
= kx,
где k – некоторый коэффициент пропорциональности, называемый
удельн ой скоростью ро ста.
Также для полного описания физичес кого процесса необходимо за-
дать н ачальное условие, пусть в начальный момент t = 0 численность
популяции x(0) = x
0
. Совокупность дифференциального уравне ния
вместе с начальным условием называется задачей Коши.
Решим это уравнение:
dx
dt
= kx ⇒
dx
x
= kdt ⇒
Z
dx
x
=
Z
kd t ⇒
ln x = kt + ln C ⇒ x = Ce
kt
.
Из начального условия найдем постоянную C = x
0
и решением за д ачи
Коши будет функция x = x
0
e
kt
. Таким образом, рост численности
популяции происходит по экспоненциальному закону.
35
    Физическим смыслом производной функции описывающей изме-
нение некоторой характеристики с течением времени является скорость
изменения значения этой характеристики. Поэтому из дифференци-
ального уравнения можно определить как с течением времени будет
меняться значение характеристики, описывающей некоторый процесс.
    7.2. Модель роста численности в случае неограничен-
ности ресурсов. Рассмотрим модель роста численности популяции.
Пусть x(t) – функция, описывающая изменение численности популя-
ции с течением времени.
    Будем считать, что прирост численности пропорционален числен-
ности самой популяции. Так как прирост численности есть производная
x′(t), то данное утверждение можно записать в виде дифференциаль-
ного уравнения

     x′ = kx,

где k – некоторый коэффициент пропорциональности, называемый
удельной скоростью роста.
    Также для полного описания физического процесса необходимо за-
дать начальное условие, пусть в начальный момент t = 0 численность
популяции x(0) = x0 . Совокупность дифференциального уравнения
вместе с начальным условием называется задачей Коши.
    Решим это уравнение:
                                          Z          Z
     dx                 dx                    dx
        = kx     ⇒         = kdt   ⇒             =       kdt   ⇒
     dt                  x                     x

     ln x = kt + ln C    ⇒    x = Cekt.

Из начального условия найдем постоянную C = x0 и решением задачи
Коши будет функция x = x0ekt . Таким образом, рост численности
популяции происходит по экспоненциальному закону.

                                   35

Страницы