Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что по этому же закону происходит рост суммы вклада
в банке, рост доходов предприятия и т.п.
7.3. Моде ль роста численности в случае ограни ченно-
сти ресурсов. Предыдущее уравнение и его решение получены в
предположении, что ресурсы питания неограничены, что привело к
неограниченному росту численности популяции. Более точно е реше-
ние можно получить, если предположить что удельная скорость роста
k является не постоянной величиной, а зависит от численности x по-
пуляции п о линейному закону:
k(x) = k
0
1 −
x
b
.
Число b называется емкостью среды , при численности популяции x =
= b скорость роста популяции становится равной нулю. Таким образом,
дифференциальное уравнение роста численности популяции имеет вид
x
′
= k
0
1 −
x
b
x.
Решим это уравнение:
dx
dt
= k
0
1 −
x
b
x ⇒
dx
1 −
x
b
x
= k
0
dt ⇒
1
x
+
1
b − x
dx = k
0
dt ⇒
Z
1
x
+
1
b − x
dx =
Z
k
0
dt ⇒
ln
x
b − x
= k
0
t + ln C ⇒ x = b
Ce
k
0
t
1 + Ce
k
0
t
.
Постоянную C найдем из начального условияx(0) = x
0
.
C =
x
0
b − x
0
⇒ x =
bx
0
e
k
0
t
b + x
0
(e
k
0
t
− 1)
.
При t → ∞ численность популяции x(t) → b.
36
    Заметим, что по этому же закону происходит рост суммы вклада
в банке, рост доходов предприятия и т.п.
    7.3. Модель роста численности в случае ограниченно-
сти ресурсов. Предыдущее уравнение и его решение получены в
предположении, что ресурсы питания неограничены, что привело к
неограниченному росту численности популяции. Более точное реше-
ние можно получить, если предположить что удельная скорость роста
k является не постоянной величиной, а зависит от численности x по-
пуляции по линейному закону:
                  x
     k(x) = k0 1 −    .
                   b
Число b называется емкостью среды, при численности популяции x =
= b скорость роста популяции становится равной нулю. Таким образом,
дифференциальное уравнение роста численности популяции имеет вид
               x
      ′
     x = k0 1 −    x.
                b
    Решим это уравнение:
     dx          x                 dx
         = k0 1 −    x      ⇒             = k0 dt ⇒
      dt          b                1 − xb x
                                Z                 Z
   1     1                             1    1
     +        dx = k0dt     ⇒            +        dx = k0dt   ⇒
   x b−x                              x b−x
         x                            Cek0 t
     ln      = k0t + ln C ⇒ x = b              .
       b−x                          1 + Cek0 t
    Постоянную C найдем из начального условияx(0) = x0.

          x0                     bx0ek0 t
     C=            ⇒      x=                   .
        b − x0               b + x0(ek0 t − 1)

    При t → ∞ численность популяции x(t) → b.


                                   36

Страницы