Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

. . . x
n0
, при которых все правые части системы (8.1) обращ аются в
нули.
Можно также ввести понятие фазового пространства - простран 
ства размера n, представляющего с обо й множество всех состояний си
стемы, так, что каждому возможному состоянию автономной си стемы
соответствует точка фазового пространства. При изменении вр емени
состояние системы меняется и в фазовом пространстве соответствую
щая точка движется по так назы ваемой фазовой траектории. В случае
двух переменных фазовое пространство называется фазовой плоско-
стью.
8.2. Понятие устойчивости. Виды стационарных точе к .
В математике, решение дифференциального уравнения или системы
называется устойчивым, если поведение решений с близкими н ачаль
ными условиями “не сильно” отличается от поведения исходного р е
шения. Слова “не сильно” можно формализовать по-разному, получая
разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ля
пунову, асимптотическую устойчивость и т.д. Обычно рассматривает
ся задача об устойчивости решения в стационарной точке, поскольку
задача об устойчивости произвольной траектории сводится к дан ной
путем замены неизвестной функции.
Рассмотрим линейную сис тему дифференциальных уравн ений
x
′
= a
11
x + a
12
y,
y
′
= a
21
x + a
22
y.
(8.2)
и соответств ующую ей матрицу
A =
a
11
a
12
a
21
a
22
!
(8.3)
Эта систе ма имеет одну стационарную точку x = y = 0. Пусть λ
1
40
. . . xn0, при которых все правые части системы (8.1) обращаются в
нули.
    Можно также ввести понятие фазового пространства —- простран-
ства размера n, представляющего собой множество всех состояний си-
стемы, так, что каждому возможному состоянию автономной системы
соответствует точка фазового пространства. При изменении времени
состояние системы меняется и в фазовом пространстве соответствую-
щая точка движется по так называемой фазовой траектории. В случае
двух переменных фазовое пространство называется фазовой плоско-
стью.
    8.2. Понятие устойчивости. Виды стационарных точек.
В математике, решение дифференциального уравнения или системы
называется устойчивым, если поведение решений с близкими началь-
ными условиями “не сильно” отличается от поведения исходного ре-
шения. Слова “не сильно” можно формализовать по-разному, получая
разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ля-
пунову, асимптотическую устойчивость и т.д. Обычно рассматривает-
ся задача об устойчивости решения в стационарной точке, поскольку
задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной
путем замены неизвестной функции.
    Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
     
     
     x′ = a11x + a12y,
                                                         (8.2)
     
     y = a x + a y.
        ′
             21    22

и соответствующую ей матрицу
                    !
            a11 a12
      A=                                                     (8.3)
            a21 a22

    Эта система имеет одну стационарную точку x = y = 0. Пусть λ1

                               40

Страницы