Механика. Афанасьев А.Д. - 103 стр.

                 Физический смысл полученного соотношения заключается в том, что
            волна, бегущая в любом направлении, доходя до конца струны, полностью
            отражается с изменением фазы на π - радиан. Этот результат справедлив для
            всех волн любой формы и любой частоты. Таким образом, смещение y дается
            выражением:
                              y = Aeiωt (e−ikx − eikx ) = −2 Aieiωt sin kx ,                     (8)
            так как по формуле Эйлера:
                          e ikx = cos kx + i sin kx,          e −ikx = cos kx − i sin kx .
                  Волновое уравнение для стоячей волны является стационарным и
                                  ∂2 y                               1       ∂2 y
            запишется в виде:            + k y = 0 , поскольку
                                            2
                                                                         ⋅          = −k 2 y .
                                  ∂ x2                              C2 ∂t2
                 В точках, в которых sin kx = 0 согласно уравнению (8), колебания
            отсутствуют. Эти точки являются узлами стоячей волны. Там же, где
             sin kx = 1 амплитуда колебаний максимальна, притом вдвое больше
            амплитуды складываемых волн. Это пучности стоячей волны. В появлении
            пучностей и узлов как раз и заключается явление интерференции: в одних
            местах колебания усиливаются, а в других прекращаются совсем.
                 Убедимся в том, что рассмотренная выше волна (8) может существовать
            только при строго определенных частотах колебаний. Это обстоятельство
            следует из условия (7): y = 0 при x = l . Отсюда получаем, что sin kl = 0 .
            Это равенство возможно, если kl = nπ , где n - произвольное
            положительное число. Отрицательные n исключаются по смыслу волнового
            числа. Итак, оказывается, что k , а следовательно, и частота ω , связанная с
            k , могут принимать только следующие строго определенные значения:
                                          nπ                        nπ c
                                k = kn =      , ω = ω n = 2πν n =        ,
                                           l                          l
            где n = 1, 2, 3,... . Частоты ω n или ν n называются собственными:
                                                      nc
                                                νn = .                         (9)
                                                      2l
                Учитывая, что ν = c λ , получаем из равенства (9) условие
            возникновения стоячей волны в виде:
                                                       nλ
                                                 l=       .                                      (10)
                                                        2
                  Условие (10) означает, что стоячая волна возникает, когда на длине
            струны укладывается целое число полуволн.
                  Спектр собственных частот является дискретным, частоты ν , 2ν , 3ν и
            т.д., называются соответственно первой (основной), второй, третьей и т.д.
            гармониками. На рис.2 показано смещение струны для первых четырех
            гармоник.
                                                        103
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com