Механика. Афанасьев А.Д. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

101
На рис. 1 изображен смещенный элемент струны, имеющий длину
dx
dS
≈
. Обозначим массу единицы длины однородной струны, или ее
линейную плотность через
ρ
.
Вдоль струны существует
постоянное натяжение
F
, хотя
растяжимость ее невелика. Мы
будем рассматривать короткий
отрезок и малые колебания,
действие силы тяжести учитывать
не будем. Из рис.1 видно, что на
искривленный элемент длиной
dS
с
одного конца действует сила
натяжения F, направленная под
углом
θ
к оси
X
, а с другого конца
– направленная под углом
θ d+
.
Уравнение движения
гармонического осциллятора
находим из закона Ньютона:
ma
F =
. Перпендикулярная сила,
действующая на элемент
dx
в положительном направлении оси
Y
, равна
θ
θ
θ
sin
)
sin(
F
d
F
−
+
и второй закон Ньютона запишем в виде:
( )
2
2
t
y
dx
x
y
x
y
F
xdxx
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
ρ . (1)
При этом учтено, что для малых углов
θ
,
x
x
y
tg
∂
∂
== θθsin , где
x
x
y
∂
∂
- частная производная в точке
x
.
Выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве (1), можно
записать иначе:
( )
dx
x
y
x
y
x
y
xdxx
2
2
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
. (2)
Сравните это равенство с определением частной производной функции
)
,(
y
xf
:
(
)
dx
yxfydxxf
x
yxf
y
),(),(, −+
≡
∂
∂
.
Тогда уравнение движения малого элемента принимает вид:
dS
O
θ
θ
d
+
F
r
x x+dx
Рис. 1
θ
F
r
X
Y
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                На рис. 1 изображен смещенный элемент струны, имеющий длину
            dS ≈ dx . Обозначим массу единицы длины однородной струны, или ее
                                                    линейную плотность через ρ .
             Y                                      Вдоль      струны       существует
                                                    постоянное натяжение F , хотя
                                          r         растяжимость ее невелика. Мы
                                         F          будем     рассматривать короткий
                                                    отрезок   и    малые     колебания,
                         dS
                                                    действие силы тяжести учитывать
                                     θ + dθ         не будем. Из рис.1 видно, что на
                 r
                           θ
                                                    искривленный элемент длиной dS с
                 F                                  одного конца действует сила
                                                    натяжения F, направленная под
                                                    углом θ к оси X , а с другого конца
              O                                     – направленная под углом θ + dθ .
                       x      x+dx           X           Уравнение            движения
                                                    гармонического         осциллятора
                         Рис. 1
                                                    находим из закона Ньютона:
                                                    F = ma . Перпендикулярная сила,
            действующая на элемент dx в положительном направлении оси Y , равна
            F sin(θ + dθ ) − F sin θ и второй закон Ньютона запишем в виде:
                                ∂y             ∂y      ∂2 y
                             F              −    = ρ dx 2 .                                 (1)
                                 ( x + dx )  ∂x  x 
                                  ∂x                         ∂t
                                                                                          ∂y 
                  При этом учтено, что для малых углов θ , sinθ = tgθ =                       , где
                                                                                           ∂
                                                                                          x
                                                                                            x
             ∂y 
              - частная производная в точке x .
             ∂x  x
                Выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве (1), можно
            записать иначе:
                                    ∂y              ∂y    ∂2 y
                                                  −  =          dx .                          (2)
                                    ∂x  ( x + dx )  ∂x  x ∂ x 2
                  Сравните это равенство с определением частной производной функции
             f ( x, y ) :
                                      ∂f ( x, y )     f ( x + dx, y ) − f ( x, y )
                                                  ≡                              .
                                         ∂  x      y             dx
                Тогда уравнение движения малого элемента принимает вид:



                                                        101
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы