Механика. Афанасьев А.Д. - 102 стр.

                                   ∂2 y                ∂2 y                           ∂2 y   ρ ∂2 y
                               F            dx = ρ              dx         или             =        .
                                   ∂x   2
                                                       ∂t   2
                                                                                      ∂x 2   F ∂t 2

                 Независимо от типа волн отношение силы упругости к плотности среды
            есть квадрат скорости C , носящей название волновой или фазовой.
                                                                F
                                                                  = C2
                                                                ρ
            поэтому
                                              ∂2 y              1        ∂2 y
                                                        =            ⋅            .                      (3)
                                              ∂x   2
                                                            C   2
                                                                         ∂t   2

                Уравнения типа (3) называются волновыми уравнениями. Они связывают
            ускорение гармонического осциллятора в среде со второй производной его
            смещения по координате x , определяющей положение осциллятора.
                Решением уравнения (3) в общем, виде является уравнение бегущей
            волны
                                    y = A sin(ωt − kx) ,                        (4)
                        2π ω
            где    k=      =        (так называемое волновое                             число). Можно также
                         λ   C
            использовать экспоненциальное представление синуса и косинуса:
                                                        y = A ⋅ ei (ωt − kx ) .   (5)
                Убедиться в справедливости подобного утверждения можно путем
            дифференцирования уравнения (4) или (5) и подстановки их в уравнение (3).
            При подстановке должно получиться тождество.

                                                   Стоячие волны
                 При некоторых условиях возбуждения в струне могут установиться
            стоячие волны. Этими условиями являются определенные величины
            собственной частоты колебаний.
                 Рассмотрим возникновение стоячих волн на струне фиксированной
            длины. Пусть одна монохроматическая волна с амплитудой A и частотой ω
            распространяется в положительном направлении оси Х, а другая
            монохроматическая волна той же частоты с амплитудой B распространяется
            в отрицательном направлении оси Х. Тогда смещение в любой точке струны
            будет определяться выражением:
                                     y = A ⋅ e i (ωt −kx ) + B ⋅ e i (ωt + kx ) ,                        (6)
            и граничными условиями
                                     y=0    при x = 0, x = l .                    (7)
                  Для любого значения t в уравнении (6) первое граничное условие дает
             0 = ( A + B )e iωt отсюда A = − B

                                                                102
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com