Механика. Афанасьев А.Д. - 38 стр.

                В этом случае оси вращения тела, совпадающие с осями координат,
            являются главными осями инерции, а величины I x = I xx , I y = I yy ,
             I z = I zz - главными моментами инерции. Таким образом, если оси системы
            координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные
            моменты инерции равны нулю. Через каждую точку твердого тела можно
            провести три взаимно перпендикулярные главные оси. Процесс
                                                                   C       нахождения
            главных осей сводится к математической процедуре диагонализации тензора.
            На практике же обычно пользуются простыми соображениями симметрии.
            Например, для круглого цилиндра одна из главных осей тела должна
            проходить через выбранную точку, параллельно оси симметрии цилиндра, а
            две другие должны лежать в плоскости, перпендикулярной этой оси.
            (Подробнее о тензоре инерции можно прочитать в работах [1,2]).
                Для однородного тела вращения удобно рассматривать главные оси
            инерции проходящими через центр масс этого тела (центральные главные
            оси инерции). В этом случае одна из них будет совпадать с его осью
            симметрии. Тогда один из главных моментов инерции, например I z (пусть
            ось симметрии совпадает с координатной осью z ), будет определяться по
            формуле (4), которая с учетом выражения (7) приобретает вид:
            I z = ∑ mi (ri2 − z i2 ) . При переходе к непрерывному распределению масс
            суммирование следует заменить интегрированием. Если плотность тела ρ
            постоянна, а элементарный объем dV = dx dy dz , то
                                                                   I z = ∫ ρ (ri2 − z i2 ) dV = ρ ∫ ( x 2 + y 2
                   D                                     O′
                                                                                          (8)
                                                                  С помощью выражения (8)
                                                                  можно достаточно просто
                                α                                 определить моменты инерции
                                                                  тел вращения относительно
                                                       m
                                                                  их     осей     симметрии.
                                                                  Например, для диска и
                                                                  цилиндра радиусом R эта
                                                                                   1
                                                                  величина равна I = mR 2 , а
                   C                                                               2
                                 Рис.4               O
                                                                  для шара радиусом R она
                                                                           2
                                                                  равна I = mR .
                                                                               2
                                                                           5
                Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси во
            многих случаях облегчает теорема Гюйгенса-Штейнера. Она связывает
            моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых
            проходит через центр масс. Момент инерции тела I относительно

                                                       38
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com