Механика. Афанасьев А.Д. - 36 стр.

                                              r     r
                Учитывая, что векторы N и ω в рассматриваемом конкретном примере
                                                                          r    r
            имеют одинаковое направление, запишем это в векторной форме: N = Iω .
            Данное соотношение получено для однородного тела, вращающегося вокруг
            оси симметрии. В общем же случае оно       r неr соблюдается (для
            несимметричного тела, например, векторы N и ω не совпадают по
            направлению).
                Момент импульса относительно оси вращения, направление которой
            совпадает с направлением оси z , для любого тела (однородного или
            неоднородного,        симметричного       или        несимметричного)
            равен: N z = ∑ N zi = ∑ mi Ri ω = Iω .
                                              2
                                                             Это    соотношение    выполняется
            всегда. Следовательно, оно справедливо для общего случая.
                Таким образом, для твердого тела, вращающегося относительно оси,
            совпадающей по направлению с координатной осью z , уравнение моментов
                                    d
            (2) должно иметь вид:     N z = ∑ M z , а с учетом выражения (5):
                                   dt      r
                                          dω     r
                                        I    = Iε = ∑Mz                           (6)
                                          dt    r
                  Здесь вектор угловой скорости ω может измениться только по модулю,
            так как рассматривается вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
                 Уравнение (6) называется основным уравнением динамики
            вращательного движения твердого тела. Оно аналогично основному
            уравнению поступательного движения (1). В нем роль массы играет момент
            инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорение, роль
            результирующей силы - суммарный момент внешних сил. Учитывая эту
            аналогию можно сразу получить выражения для различных физических
            величин, характеризующих вращающееся твердое тело. В частности, если
            кинетическая энергия поступательно движущегося тела определяется
                              1
            выражением E к =    mV 2 , то кинетическая энергия вращающегося тела
                              2
                                                 1 2
            должна быть равна, по аналогии, E к = Iω , так как угловая скорость ω
                                                 2
            является аналогом скорости поступательного движения тела.
                 Мы рассмотрели вращение твердого тела относительно неподвижной
            (закрепленной) оси. В самом общем случае твердое тело произвольной
            формы может совершать беспорядочное вращение вокруг закрепленной
            (неподвижной) точки. Это может быть и центр масс тела. В каждый
            следующий момент тело вращается вокруг другой оси, - его вращение
            происходит относительно мгновенных осей, проходящих через неподвижную
            точку. Определение момента инерции при этом является весьма сложной
            задачей. В этом случае применяется так называемый тензор инерции. Если
            вращение тела рассматривать в некоторой прямолинейной системе координат
                                                        36
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com