Механика. Афанасьев А.Д. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

35
Для однородного тела вращения (тела, симметричного относительно оси
вращения и имеющего одинаковую по всему объему плотность) суммарный
момент импульса
∑
=
i
NN
r
r
направлен вдоль оси вращения в ту же сторону,
что и вектор
ω
r
. Действительно, в этом случае тело можно разбить на пары
равных по массе и расположенных симметрично относительно оси вращения
частиц, например
i
m и
′
i
m (рис.3). Для
этих частиц векторы моментов
i
N
r
и
i
N
′
r
одинаковы по модулю и расположены
симметрично относительно оси вращения
тела. Каждый из них можно разложить на
составляющие векторы, один из которых
направлен вдоль оси
z
, а второй –
перпендикулярно ей.
Для рассматриваемой пары частиц
перпендикулярные оси
z
компоненты
векторов
i
N
r
и
i
N
′
r
равны и направлены в
противоположные стороны, а компоненты,
параллельные оси
z
, направлены в одну
сторону. Таким образом, вектор суммы моментов импульса каждой пары
частиц
i
m и
i
m
направлен вдоль оси
z
и совпадает с направлением вектора
ω
r
. Поэтому и суммарный момент импульса
N
r
однородного твердого тела
вращения совпадает по направлению с вектором угловой скорости
ω
r
.
Модуль же этого момента импульса, с учетом (3), имеет вид:
∑∑
==
2
iizi
RmNN ω
.
Сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний
от некоторой оси называется моментом инерции тела относительно этой
оси.
∑
=
2
ii
RmI
. (4)
Суммирование производится по всем элементарным массам
i
m , на
которые можно мысленно разбить тело. Момент инерции тела
I
характеризует инерционные свойства вращающегося тела, так как связан с
массой образующих его частиц. Он зависит от распределения массы тела
относительно оси вращения. Следовательно, момент инерции
I
тела может
быть изменен при изменении положения оси вращения относительно тела
или при перераспределении массы тела относительно неизменной оси
вращения.
Таким образом, момент импульса тела зависит от момента инерции
этого тела относительно оси вращения:
∑
=
2
ii
RmI
. (5)
Z
α
O
i
m'
i
N
i
N'
i
r
r
i
r'
r
ϖ
r
ii
NN '
r
r
+
Рис. 3
i
m
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            Для однородного тела вращения (тела, симметричного относительно оси
            вращения и имеющего одинаковую по всему объему плотность) суммарный
                              r      r
            момент импульса N = ∑ N i направлен вдоль оси вращения в ту же сторону,
                         r
            что и вектор ω . Действительно, в этом случае тело можно разбить на пары
            равных по массе и расположенных симметрично относительно оси вращения
                                           частиц, например mi и mi (рис.3). Для
                                                                                   ′
                                                                            r     r
                             Z             этих частиц векторы моментов N i и N i′
                              r
                             ϖ             одинаковы по модулю и расположены
                              r     r      симметрично относительно оси вращения
                             N i α+ N 'i   тела. Каждый из них можно разложить на
                  mi                       составляющие векторы, один из которых
                         r r        m'i
                             r'            направлен вдоль оси z , а второй –
                   N i ri i N 'i           перпендикулярно ей.
                                                Для рассматриваемой пары частиц
                                           перпендикулярные оси z компоненты
                          O                           r    r
                                           векторов N i и N i′ равны и направлены в
                      Рис. 3               противоположные стороны, а компоненты,
                                           параллельные оси z , направлены в одну
            сторону. Таким образом, вектор суммы моментов импульса каждой пары
            частиц mi и mi′ направлен вдоль оси z и совпадает с направлением вектора
             r                                      r
            ω . Поэтому и суммарный момент импульса N однородного твердого тела
                                                                             r
            вращения совпадает по направлению с вектором угловой скорости ω .
            Модуль же этого момента импульса, с учетом (3), имеет вид:
                                             N = ∑ N zi = ω ∑ mi Ri2 .
                 Сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний
            от некоторой оси называется моментом инерции тела относительно этой
            оси.
                                            I = ∑ mi Ri2 .                             (4)
                Суммирование производится по всем элементарным массам mi , на
            которые можно мысленно разбить тело. Момент инерции тела I
            характеризует инерционные свойства вращающегося тела, так как связан с
            массой образующих его частиц. Он зависит от распределения массы тела
            относительно оси вращения. Следовательно, момент инерции I тела может
            быть изменен при изменении положения оси вращения относительно тела
            или при перераспределении массы тела относительно неизменной оси
            вращения.
                Таким образом, момент импульса тела зависит от момента инерции
            этого тела относительно оси вращения:
                                            I = ∑ mi Ri2 .                             (5)

                                                       35
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы