Молекулярная физика. Афанасьев А.Д - 11 стр.

                  Свойства дисперсии и среднего квадратичного отклонения
                1. Если все значения вариант увеличить на одну и ту же величину а, то
          на ту же величину а увеличивается их среднее арифметическое. Отклонения
          же останутся без изменения. Значит, останутся без изменения дисперсия и
          среднее квадратичное отклонение.
                2. Если все значения вариант умножить на одно и то же число К, то в К
          раз увеличится их среднее арифметическое x , отклонения от среднего
          арифметического x - x и среднее квадратичное отклонение S (дисперсия)
          увеличится в К2 раз.
                3. Запишем формулу (9) в виде
                                    ∑ ( xi − a ) = S 2 + ( a − x )2 .
                                                2


                                       N −1
                Средняя величина квадратов отклонений вариант от любой величины а,
          больше дисперсии D. на квадрат отклонения этой величины а от среднего
          арифметического вариант.
                4. Если совокупность разбита на несколько частей, то общая дисперсия
          является суммой средней величины дисперсии внутри отдельных частей
          совокупности Di       и среднего квадрата отклонения частных средних от
                            2
          общей средней S
                                                                     2
                                                D = Di + S .
               Докажем это равенство. Пусть совокупность разбита на L частей
          численностью в n1 , n2 ,...ni и ∑ ni = n . Пусть частные дисперсии составляют
          S12 , S 22 ,...Si2 .
                                                  1
                                   Si2 = Di =          ∑ i x − xi
                                                            2    2

                                                ni − 1             ,
          где   ∑ означает суммирование в пределах данной части совокупности, а x
                      i

          - частное среднее. Отсюда
                                      ∑   i   x 2 = ( ni − 1) Si2 + ( ni − 1) xi2
                                                                    .
                    Складывая эти суммы вместе по всем частям совокупности, получаем:

                                     ∑ x = ∑ ( n − 1) S + ∑ ( n − 1) x
                                          2
                                                        i        i
                                                                  2
                                                                            i
                                                                                    2
                                                                                    i   .
                    Разделим все члены равенства на (n – 1)
                                      1
                                         ∑ x 2
                                               = ∑  ni Si ∑ ni xi
                                                         +
                                                                 2

                                                                  .
                                                                                2


                                    n −1          n −1     n −1

                                                            11
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com