Лекции по основам устойчивости сооружений. Агалов М.Ш. - 41 стр.

                           Z1r11 + Z 2 r12 + Z 3 r13 = 0                                            6 EJ
                                                                                       r32 = r23 = −       ϕ 4 (υ 3 ) = −0,375EJϕ 4 (1,41υ ) ;
                          Z1r21 + Z 2 r22 + Z 3 r23 = 0                                              42
                          Z r + Z r + Z r = 0                                              D = r11 ⋅ r22 ⋅ r33 − r132 r22 − r232 r11 = 0 .
                           1 31      2 32      3 33
                                                                                  Подставим в это уравнение найденные значения коэф-
                                r11 , r12 , r13                           фициентов и, произведя небольшие преобразования, полу-
                                                   
                          D =  r21 , r22 , r23  = 0                       чим сложное трансцендентное уравнение (так называемое
                               r , r , r                                  уравнение устойчивости), которое надо решить путем под-
                                31       32    33 
                                                                            бора:
     Во всех трех стойках будут различные величины υ, так
                                                                                         12[η 2 (υ ) + η 2 (1,41υ )] + 7,11η1 (0,75υ ) =
как продольные силы и длина различны.
                                                                                            9[ϕ 4 (υ )] [2ϕ 2 (1,41υ ) + ϕ 3 (1,41υ )]
                                                                                                        2                             2
                                 P                                                        =              +                             .
     1) для левой стойки υ1 = 4     =υ ,
                                EJ                                                          ϕ 2 (υ ) + 2        ϕ 2 (1,41υ ) + 2
                                             P                                   Раньше чем задаться каким-то значением υ, целесооб-
      2) для средней стойки υ 2 = 3             = 0,75υ ,                   разно посмотреть, в каких пределах оно может изменяться.
                                             EJ
                                                                            Левая стойка рамы находится в таких условиях, что её верх-
                                               2P                           ний конец может смещаться по горизонтали (но смещению
      3) для правой стойки υ 3 = 4                 = 1,41υ .
                                               EJ                           сопротивляется жесткость других стоек) и упруго поворачи-
       На      единичных           эпюрах         при       коэффициентах   ваться (повороту сопротивляется жесткость ригеля), следо-
ϕ1 (υ ), ϕ 2 (υ ), ϕ 4 (υ ) поставлены в скобках те же значения             вательно, критическая сила стойки рамы будет выше, чем
(υ), которым эти коэффициенты соответствуют.                                для стержня, показанного на рисунке 46, б. Находим значе-
       Значения коэффициентов:                                              ние υ для этих двух случаев.
                         4 EJ                                                                            Для случая а:
                  r11 =       ϕ 2 (υ1 ) + 2 EJ = EJ [ϕ 2 (υ ) + 2];                                                     π 2 EJ υ 2 EJ
                           4                                                                                    Pкр =           = 2 ,
                       4 EJ                                                                                              4l 2       l
                r22 =        ϕ 2 (υ 3 ) + 2 EJ = EJ [ϕ 2 (1,41υ + 2];                                                           π
                         4                                                                                         откуда υ =       = 1,57 .
                    12 EJ                                                                                                       2
             r33 =
                       3
                           [η2 (υ1) + η2 (υ3 )] + 3EJ    η1(υ2 ) =                                          Для случая б:
                      4                             33
                                                                                                                  4π 2 EJ υ 2 EJ
             = EJ [0,187(η 2 (υ ) + η2 (1,41υ ) + 0,111η1(0,75υ ))];                                        Pкр =        = 2 ,
                                                                                                                    l2      l
                                          6 EJ
        r12 = r21 = 0, r13 = r31 = − 2 ϕ 4 (υ1 ) = − EJ ⋅ 0,37ϕ 4 (υ ) ;                                    откуда υ = 2π = 6,28 .
                                           4                                     Рис. 46
                                                                                                                                               41