Лекции по основам устойчивости сооружений. Агалов М.Ш. - 51 стр.

                                d 2w                                              Первое условие дает A = 0 и два других
                    Тогда            + n 2 w = C sin ϕ (*);
                                dϕ 2                                                                             C
                                                                                                   B sin nα + n 2 − 1 sin α = 0
                                   w = w1 + w2 ,                                                                  C
       где w1 - общее решение однородного уравнения -                                              Bn cos nα + 2       cos α = 0
                                                                                                               n −1
w′′ + n 2 w = 0                                                                                                  1
                            w1 = A cos nϕ + B sin nϕ .                                              sin nα ,          sin α
                                                                                               D=             n 2
                                                                                                                  − 1        = 0 (**),
       Частное решение имеем в виде:                                                                             1
                            w2 = C1 sin ϕ + C 2 cos ϕ                                            n cos nα ,          cos α
                                                                                                              n2 −1
                              ″                           
                           w2 = C1 cos ϕ − C 2 sin ϕ                             откуда sin nα cos α − n cos nα sin α = 0 и
                             ″
                          w2 = −C1 sin ϕ − C 2 cos ϕ                       tqnα ⋅ ctqα = n .
                                                                                  Это уравнение дает возможность определить (n), а сле-
       Подставим в дифференциальное уравнение (*):
                                                                             довательно, и критическую нагрузку.
           − C1 sin ϕ − C 2 cos ϕ + n 2 C1 sin ϕ + n 2 C 2 cos ϕ = C sin ϕ
                                                                                                           qR 3
                            − С1 + n 2 C1 − C = 0                                Из формулы n = 1 +             получим:
                                                                                                           EJ
                             − C2 + n C2 = 0
                                         2
                                                                                                                EJ
                                                                                                        q кр = 3 (n 2 − 1)
                            C 2 (n 2 − 1) = 0                                                                   R
                  т.к. (n 2 − 1) ≠ 0, то C 2 = 0                                  Значения (n) приведены в таблице при разных α.
                                                 C                                Характеристическое уравнение решается путем подбо-
                  C1 (n 2 − 1) = C и C1 =            ,                       ра. Возьмем арку с центральным углом 2α = 60 0 . Тогда
                                                2
                                               n −1
     Получили полное решение:                                                ctqα = ctq30 0 = 1,73 и уравнение (**) приобретает вид:
                                               C                                                       n = 1,73tqnα (***)
               w = A cos nϕ + B sin nϕ + 2         sin ϕ
                                              n −1                                Обозначив правую часть полученного уравнения через
     В отличие от двухшарнирной арки необходимо три                          A и давая (n) различные значения, получаем:
граничных условия для определения производных постоян-                                    n = 7′    A = 1,73tq 210 0 = 1,73 ⋅ 0,978 = 1,0
ных: A, B и C. Дополнительным граничным условием будет                                               A = 1,73tq 210 0 = 1,73 ⋅ 1,73 = 3,0
равенство нулю угла поворота в заделке.                                                   n=8
                                                                                  При                              3 
     При ϕ = 0 w = 0 .                                                                    n=9               A = tq π 1,73 =∝
                                                                                                                   2 
     При ϕ = α w = 0 w′ = 0 .                                                           n = 8,625
                                                                                                         A = 1,73tq 258 0 45′ = 8,7
                                                                                                                                       51