Лекции по основам устойчивости сооружений. Агалов М.Ш. - 49 стр.

        16.2. Устойчивость круговой двухшарнирной                   d 2w          qR 3                         qR 3
            арки при гидростатическом давлении                            + w1 +       = 0 обозначим n = 1 +       ;
                                                                    dϕ 2          EJ                          EJ
      Круговая двухшарнирная арка при радиальной равно-      w′′ + n 2 w = 0         интеграл          этого      уравнения:
мерно распределенной нагрузке испытывает во всех сечени-     w = A cos nϕ + B sin nϕ .
ях центральное сжатие. При достижении нагрузкой q крити-           При                     ϕ = 0; w = 0; ϕ = α ; w = 0. откуда
ческого значения она теряет устойчивость деформации сжа-
                                                              A = 0; B sin nα = 0 .             Так         как         B ≠0,
тия и искривляется.
                                                             sin nR = 0; nα = π ,2π ,....nπ       наименьшему значению кри-
                                                             тической нагрузки соответствует nα = π ; отсюда:
                                                                             π2         qR 3              EJ  π 2    
                                                                                  = 1 +      ;   q кр  =       2 − 1 (*)
                                                                                                            3 
                                                                             α  2
                                                                                        EJ                R α        
                                                                                                    π                       EJ
                                                                  В частном случае при α =               получаем q кр = 3 3 . Для
                                                                                                     2                      R
                                                             пологих арок, когда угол α мал по сравнению с π, в форму-
                                                             ле (*) можно отбросить единицу, тогда получаем прибли-
                                                             женное значение критической нагрузки
                                                                                                     π 2 EJ
                                                                                             q кр = 2 3 ;
                                                                                                     α R
                                                                                    π EJ
                                                                                      2
                                                                    N кр = q кр R =        ; αR = S - длина дуги полуарки.
                                                                                    (αR) 2
                          Рис. 54                                                                     π 2 EJ
                                                                                             N кр =           ,
                  α              α                                                                      S2
           Rq = 2 ∫ qdS cos ϕ = 2 ∫ qr cos ϕdϕ = 2qr sin α                                                      1 1 
                                                                  Таким образом, для пологой арки  ≤  критическая
                  0              0
                                                                                                                l τ 
           ∑y=0       − 2 N sin α + 2qr sin α = 0 N = rq     продольная сила может быть подсчитана по обычной фор-
     Продольная сила в любом сечении равна N = qr . При      муле Эйлера, как для стержня, шарнирно-опертого по кон-
этом значении N - изгибающий момент в любом сечении          цам с длиной, равной половине длины дуги арки.
M ϕ = N ⋅ w = qRw .                                                                                                 π
                                                                  Пример: Для 2α = 60 0 имеем α = 30 0 = ;
                                                                                                                    6
     Дифференциальное уравнение изгиба принимает вид: