ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Запишем основное уравнение динамики вращательного дви-
жения для блока:
21
MMI
→→→
+=ε , (3)
где:
→
ε – угловое ускорение,
I
– момент инерции блока,
1
M
→
и
2
M
→
– моменты сил
1
T
r
′
и
2
T
r
′
.
Если нить невесома, то силы натяжения вдоль нити с каждой
стороны блока одинаковы по модулю, то есть:
11
TT =
′
,
22
TT =
′
.
Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на осно-
вании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает отно-
сительно блока, то касательное ускорение его точек, соприка-
сающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке и ус-
корению грузов:
aaa
21
== .
Для перехода к скалярным соотношениям для описания дви-
жения грузов введем ось Y
. Теперь векторные уравнения (1) и (2)
можно заменить скалярными:
⎭
⎬
⎫
−=−
−=
.Tgmam
,Tgmam
222
111
(4)
Моменты сил
→
′
1
T и
→
′
2
T направлены по оси вращения, но в про-
тивоположные стороны. Примем направление вектора
ε
r
за по-
ложительное. Тогда момент силы
→
′
1
T относительно оси вращения
будет положительным, а момент силы
→
′
2
T – отрицательным. Век-
торное уравнение (3) можно переписать в виде:
rTrTI
21
′
−
′
=ε
,
или
rTrTI
21
−=ε ,
где: r – радиус блока.
3
Учитывая, что момент инерции однородного диска
2
mr
I
2
= и
связь линейного и углового ускорений
r
a
=ε , получаем:
rTrT
r
a
2
mr
21
2
−=⋅ ,
21
TTma5,0
−
=
. (5)
Из уравнений (4) выразим силы натяжения нитей:
amgmT
111
−
=
,
amgmT
222
+
=
.
Подставим в (5), получим:
amgmamgmma5,0
2211
−
−
−
=
,
gmgmma5,0amam
2121
−
=
+
+
,
g
m5,0mm
mm
a
21
21
++
−
=
.
Проверим размерность:
[]
22
с
м
с
м
к
г
к
г
к
г
кг-кг
=⋅
++
=a.
Вычисления:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⋅++
−
=
2
с
м
5,1
3,05,02,03,0
2,03,0
81,9a.
Ответ:
2
м/с 5,1a = .
Пример 2. По рельсам свободно движется платформа с установ-
ленным на ней орудием. Скорость платформы
0
v = 10 м/с. Из
орудия производят выстрел вдоль рельс, в направлении движе-
ния. Скорость снаряда относительно платформы
1
u = 400 м/с. Ка-
ково должно быть соотношение между массой M платформы
вместе с орудием и массой снаряда m, чтобы скорость платформы
уменьшилась в 10 раз?
4
Запишем основное уравнение динамики вращательного дви- mr 2
жения для блока: Учитывая, что момент инерции однородного диска I = и
→ → →
2
I ε = M1 + M 2 , (3) a
→
связь линейного и углового ускорений ε = , получаем:
r
где: ε – угловое ускорение,
I – момент инерции блока, mr 2 a
⋅ = T1r − T2 r ,
→ → r r 2 r
M1 и M 2 – моменты сил T1′ и T2′ . 0,5ma = T1 − T2 . (5)
Если нить невесома, то силы натяжения вдоль нити с каждой Из уравнений (4) выразим силы натяжения нитей:
стороны блока одинаковы по модулю, то есть: T1 = m1g − m1a ,
T1′ = T1 , T2′ = T2 .
T2 = m 2 g + m 2 a .
Ускорения обоих грузов считаем равными по модулю на осно-
вании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает отно- Подставим в (5), получим:
сительно блока, то касательное ускорение его точек, соприка- 0,5ma = m1g − m1a − m 2 g − m 2 a ,
сающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке и ус- m1a + m 2 a + 0,5ma = m1g − m 2 g ,
корению грузов: m1 − m 2
a= g.
a1 = a 2 = a . m1 + m 2 + 0,5m
Для перехода к скалярным соотношениям для описания дви- Проверим размерность:
жения грузов введем ось Y. Теперь векторные уравнения (1) и (2)
можно заменить скалярными: [a ] = кг - кг ⋅ м2 = м2 .
кг + кг + кг с с
m 1a = m 1g − T1 , ⎫ Вычисления:
⎬ (4)
− m 2 a = m 2 g − T2 . ⎭ 0,3 − 0,2 ⎛м⎞
a = 9,81 = 1,5 ⎜ 2 ⎟ .
→ →
0,3 + 0,2 + 0,5 ⋅ 0,3 ⎝с ⎠
Моменты сил T1′ и T2′ направлены по оси вращения, но в про-
r Ответ: a = 1,5 м/с .2
тивоположные стороны. Примем направление вектора ε за по-
→
ложительное. Тогда момент силы T1′ относительно оси вращения Пример 2. По рельсам свободно движется платформа с установ-
→
ленным на ней орудием. Скорость платформы v 0 = 10 м/с. Из
будет положительным, а момент силы T2′ – отрицательным. Век-
торное уравнение (3) можно переписать в виде: орудия производят выстрел вдоль рельс, в направлении движе-
Iε = T1′r − T2′ r , ния. Скорость снаряда относительно платформы u 1 = 400 м/с. Ка-
или ково должно быть соотношение между массой M платформы
вместе с орудием и массой снаряда m, чтобы скорость платформы
Iε = T1r − T2 r ,
уменьшилась в 10 раз?
где: r – радиус блока.
3 4
