Физика. Методические указания. Агапова Н.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУТИ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

π=
π
=
λ
π
=
π
=ω 6
5
15·2v2
T
2
.
21
Искомое уравнение волны:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−π= x
5
2
t6cos04,0s.
Смещение первой точки в момент времени t
1
= 3 с:
)м(04,05·
5
2
36cos04,0s
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−⋅π=
.
Ответ: 1) λ = 5 м, 2)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−π= x
5
2
t6cos04,0s, 3) s
1
= 0,04 м.
Пример 8. Один конец упругого стержня длиной L соединен с
источником гармонических колебаний s(t) = A sinωt. Другой ко-
нец жестко закреплен. Определить характер колебаний в любой
точке стержня. Найти координаты точек стержня, в которых ам-
плитуда колебаний минимальна и максимальна.
Решение:
Колебания от источника колебаний (x = 0) будут распростра-
няться вдоль стержня, т.е. вдоль
стержня (вдоль оси x) будет рас-
пространяться упругая волна частоты ω со скоростью v. Дойдя до
места закрепления волна отразится, при этом ее фаза меняется на
π (жесткое закрепление).
До точки с координатой х отраженная волна проходит путь:
r = L + (L –x) = 2L – x.
Уравнение падающей волны:
() ()
kxtsinA
v
x
tsinAt,xs
01
−ω=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−ω= ,
где
λ
π
=
ω
=
2
v
k – волновое число,
λ – длина волны.
Уравнение отраженной волны:
()
(
)
(
)
(
)
π
+
−
+
ω
=π+−
−
ω
= kL2kxtsinAxL2ktsinAt,xs
2
,
(
)
kL2kxtsinAs
2
−
+
ω
−
=
.
22
Наложение падающей и отраженной волн образуют стоячую
волну, которая и определяет характер колебаний в любой точке
стержня:
()
(
)
(
)
=−
+
ω
−
−
ω
=
+
=
kL2kxtsinAkxtsinA)t,x(s)t,x(st,xs
21
)kLtcos()xL(ksinA2
−
ω
−
=
.
Амплитуда стоячей волны:
)xL(ksinA2)x(A
.в.ст
−= .
Амплитуда колебаний точек зависит от их координаты x.
Найдем координаты узлов, т.е. точек где амплитуда колебаний
минимальна.
A
ст.в
. = 0,
если:
k(L-x) = mπ, (m = 0, 1, 2, ...).
π=−
λ
π
m)xL(
2
,
2
mLx
min
λ
−= .
Найдем координаты пучностей, т.е. точек где
амплитуда колебаний максимальна.
A
ст.в
. = 2А,
если:
2
)1m2()xL(k
π
+=− , (m = 0, 1, 2, ...).
2
)1m2()xL(
2
π
+=−
λ
π
,
4
)1m2(Lx
max
λ
+−= .
Ответ: )kLtcos()xL(ksinA2)t,x(s
−
ω
−
=
,
2
mLx
min
λ
−= , m = 0, 1, 2, ... ,
Дано:
s(t) = Asinωt
s(L,t) = 0
s(х,t) = ?
x
min
= ?
x
max
= ? 
                            2π 2πv 2π·15                                                                    s 2 = −A sin (ωt + kx − 2kL ) .
                       ω=     =   =      = 6π .
                            T   λ    5
                                                                                                                                    22
                                      21                                             Наложение падающей и отраженной волн образуют стоячую
   Искомое уравнение волны:                                                       волну, которая и определяет характер колебаний в любой точке
                                    ⎛       2π ⎞                                  стержня:
                       s = 0,04 cos⎜ 6πt −     x⎟ .                                 s(x , t ) = s1 ( x , t ) + s 2 ( x , t ) = A sin (ωt − kx ) − A sin (ωt + kx − 2kL ) =
                                    ⎝        5 ⎠
  Смещение первой точки в момент времени t1 = 3 с:                                                             = 2A sin k (L − x ) cos(ωt − kL) .
                              ⎛        2π ⎞                                          Амплитуда стоячей волны:
                s1 = 0,04 cos⎜ 6π ⋅ 3 − ·5 ⎟ = 0,04(м) .                                                          A ст.в. ( x ) = 2A sin k (L − x ) .
                              ⎝         5 ⎠
                                   ⎛       2π ⎞                                       Амплитуда колебаний точек зависит от их координаты x.
Ответ: 1) λ = 5 м, 2) s = 0,04 cos⎜ 6πt −     x ⎟ , 3) s1 = 0,04 м.                   Найдем координаты узлов, т.е. точек где амплитуда колебаний
                                   ⎝        5 ⎠
                                                                                  минимальна.
                                                                                                               Aст.в. = 0,
Пример 8. Один конец упругого стержня длиной L соединен с
                                                                                  если:
источником гармонических колебаний s(t) = A sinωt. Другой ко-
                                                                                                    k(L-x) = mπ, (m = 0, 1, 2, ...).
нец жестко закреплен. Определить характер колебаний в любой
                                                                                                           2π
точке стержня. Найти координаты точек стержня, в которых ам-                                                   (L − x ) = mπ ,
плитуда колебаний минимальна и максимальна.                                                                 λ
                                       Решение:                                                                                     λ
                                                                                       Дано:                         x min = L − m .
   Колебания от источника колебаний (x = 0) будут распростра-                     s(t) = Asinωt                                     2
няться вдоль стержня, т.е. вдоль стержня (вдоль оси x) будет рас-                 s(L,t) = 0        Найдем координаты пучностей, т.е. точек где
пространяться упругая волна частоты ω со скоростью v. Дойдя до                                   амплитуда колебаний максимальна.
                                                                                  s(х,t) = ?
места закрепления волна отразится, при этом ее фаза меняется на                                                         Aст.в. = 2А,
                                                                                  xmin = ?
π (жесткое закрепление).                                                                         если:
                                                                                  xmax = ?
   До точки с координатой х отраженная волна проходит путь:                                                                    π
                                                                                                       k (L − x ) = (2m + 1) , (m = 0, 1, 2, ...).
                                r = L + (L –x) = 2L – x.                                                                       2
   Уравнение падающей волны:                                                                           2π                        π
                                                                                                           (L − x ) = (2m + 1) ,
                                       ⎛ x⎞                                                             λ
                   s1 (x, t ) = A sin ω⎜ t − ⎟ = A 0 sin (ωt − kx ) ,                                                            2
                                       ⎝    v⎠                                                                                 λ
                                                                                                        x max = L − (2m + 1) .
         ω 2π                                                                                                                   4
где k = =             – волновое число,
          v       λ
     λ – длина волны.                                                             Ответ: s( x, t ) = 2A sin k (L − x ) cos(ωt − kL) ,
   Уравнение отраженной волны:                                                                            λ
                                                                                          x min = L − m , m = 0, 1, 2, ... ,
    s 2 (x , t ) = A sin (ωt − k (2L − x ) + π ) = A sin (ωt + kx − 2kL + π ) ,                           2

Страницы