Частные вопросы курса физики. Александров В.Н - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МПГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56
где β =
mr 2/
– коэффициент затухания;
ω
1
=
22
0
ωβ
– частота затухающих колебаний;
θ
0
– начальная фаза колебаний (при t = 0);
x
m
e
-βt
– амплитуда колебаний в момент времени t.
Таким образом, уравнение (3.8) и его решение (3.9) описывают реальный
процесс – свободные или затухающие гармонические колебания.
При затухающих колебаниях отношение амплитуд колебаний,
отделенных друг от друга интервалом времени в один период (Т), служит
характеристикой колебательного процесса.
Пусть
x
1
=
x
m
e
-βt
и x
2
= x
m
e
-β(t + T)
,
тогда
12
x / x
=
TT)β(tβt
eee
/
или ln(
12
x / x
) = βT = δ – логарифмический декремент затухания.
Закон убывания амплитуды со временем (A(t)) можно записать через
логарифмический декремент затухания:
A(t) =
δt/T)(x
m
exp
. (3.10)
Поясним, чем полезно введение величины δ. Рассмотрим интервал
времени Δt, за который амплитуда колебаний упадет в e раз, за это же время
система совершит N колебаний, причем N = Δt/T .
Тогда из (3.10), подставив вместо t Δt=NT, получим
A(t) = x
m
e
-δN
= x
m
e
-1
,
откуда δ = 1/N.
Таким образом, логарифмический коэффициент затухания обратно
пропорционален числу колебаний, за которые амплитуда уменьшится в e раз.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется
величина, называемая добротностью Q:
Q = 2πW(t)/ΔW(t), (3.11)
где W(t) – энергия, запасенная в системе в момент времени t,
ΔW(t)= W(t) - W(t+T) – энергия, теряемая системой за период.
Так как Q является одной из важнейших характеристик колебательной
системы, то найдем аналитическое выражение добротности через ранее
введенные величины.
Поскольку W(t)=kA
2
(t)/2 и ΔW(t)=k(A
2
(t)-A
2
(t+T))/2, то, подставив
значения A(t) и A(t+T) из (3.10) в (3.11), получим:
Q=2π[
δt/T)(x
m
exp
]
2
/[
T )/T))δ(t(δt/T)((x
m
expexp
]
2
=
=2π/[
12exp( δ)
]=2π/(1-1+2
)= π/
= πN, (3.12)
т.к. обычно
« 1 и exp(-2
)
1-2
. 
где     β = r / 2m      – коэффициент затухания;
        ω1 =    ω02  β 2 – частота затухающих колебаний;
      θ0 – начальная фаза колебаний (при t = 0);
      xm e-βt – амплитуда колебаний в момент времени t.
      Таким образом, уравнение (3.8) и его решение (3.9) описывают реальный
процесс – свободные или затухающие гармонические колебания.
      При затухающих колебаниях отношение амплитуд колебаний,
отделенных друг от друга интервалом времени в один период (Т), служит
характеристикой колебательного процесса.
      Пусть
                                            x1 = xm e-βt и x2 = xm e-β(t + T) ,
тогда      x1 / x2 = e  βt / e  β(t T)  e T
или     ln( x1 / x2 ) = βT = δ – логарифмический декремент затухания.
     Закон убывания амплитуды со временем (A(t)) можно записать через
логарифмический декремент затухания:
                                            A(t) = x m exp (  δt/T) .                 (3.10)
     Поясним, чем полезно введение величины δ. Рассмотрим интервал
времени Δt, за который амплитуда колебаний упадет в e раз, за это же время
система совершит N колебаний, причем N = Δt/T .
     Тогда из (3.10), подставив вместо t Δt=NT, получим
                                     A(t) = xm e-δN = xm e-1 ,
откуда δ = 1/N.
     Таким образом, логарифмический коэффициент затухания обратно
пропорционален числу колебаний, за которые амплитуда уменьшится в e раз.
     Для характеристики колебательной системы часто употребляется
величина, называемая добротностью Q:
                                        Q = 2πW(t)/ΔW(t),                              (3.11)
где W(t) – энергия, запасенная в системе в момент времени t,
ΔW(t)= W(t) - W(t+T) – энергия, теряемая системой за период.
     Так как Q является одной из важнейших характеристик колебательной
системы, то найдем аналитическое выражение добротности через ранее
введенные величины.
     Поскольку W(t)=kA2(t)/2 и ΔW(t)=k(A2(t)-A2(t+T))/2, то, подставив
значения A(t) и A(t+T) из (3.10) в (3.11), получим:
                Q=2π[ x m exp (  δt/T) ]2/[ x m ( exp (  δt/T)  exp (  δ(t  T)/T)) ]2=
                      =2π/[1  exp( 2δ) ]=2π/(1-1+2)= π/= πN,                        (3.12)
т.к. обычно  « 1 и exp(-2)  1-2.

56

Страницы