Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18
Длина радиуса–вектора OM точки
(
)
baM ; равна модулю комплекс-
ного числа
ibaz ⋅+=
(
)
22
baz += . Угол
ϕ
между положительным на-
правлением действительной оси и радиусом - вектором
OM точки
(
)
baM ; на-
зывается аргументом комплексного числа
ibaz
⋅
+
=
.
Угол считается положительным, если его отсчет производится против
движения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Для числа
равного нулю аргумент не определяется. Каждое комплексное число, не рав-
ное нулю, имеет бесчисленное количество аргументов. Любые два аргумента
одного комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным
числу
π
2 . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента называ-
ется главным. Если известны модуль
r
и аргумент
ϕ
комплексного числа
ibaz ⋅+= , то ;sin,cos
ϕ
ϕ
⋅
=
⋅
=
rbra
a
b
tg =
ϕ
.
Пример 7. а) Дано комплексное число
iz
−
=
1 . Найти его модуль и
главное значение аргумента.
б) Даны модуль комплексного числа
4
=
r
и его аргумент .
3
π
ϕ
= Найти
его действительную и мнимую части. Записать комплексное число.
Решение. а) Так как
iz
−
=
1 , то .1,1 −== ba Отсюда
()
.211
2
2
=−+== zr Используя формулу
,
a
b
tg =
ϕ
получим уравнение
.1−=
ϕ
tg Его решение есть
π
π
ϕ
k+−=
4
(
)
Zk
, но точка
()
1;1 −M
лежит в
четвертой четверти (см. рис. 6), поэтому аргумент
π
π
ϕ
k2
4
+−=
(
)
Zk
, а
главное значение аргумента равно
.
4
π
−
б) По условию
4=
r
,
3
π
ϕ
= , следовательно, используя формулы
,sincos
ϕ
ϕ
rbиra == получим

Страницы